Calculateur d'Équation du Second Degré
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Calculateur d'Équation du Second Degré

Résolvez les équations du second degré étape par étape : racines réelles ou complexes, discriminant delta, sommet de la parabole et simplification exacte des radicaux.

Charger un exemple :
Domaine de résolution (ℝ ou ℂ)
Moteur algébrique
Format d'affichage
Précision d'arrondi

Forme quadratique standard

ax² + bx + c = 0
x²
-10+10
x
-20+20
c
-20+20
Forme développée standard
x² - 5x + 6 = 0
Discriminant (Δ = b² - 4ac)
1
Deux racines réelles distinctes (Δ > 0)
Sommet de la parabole (h, k)
(2.5, -0.25)
Tournée vers le haut (minimum global)
Racines de l'équation
Racine 1 (x₁)(-b + √Δ) / 2a
3
Forme exacte (radicaux & fractions): 3
Racine 2 (x₂)(-b - √Δ) / 2a
2
Forme exacte (radicaux & fractions): 2
Forme factorisée
· (x - 3)(x - 2) = 0
Discriminant (Δ = b² - 4ac)1
Sommet de la parabole (h, k)(2.5, -0.25)
Paramètre focalp = 0.25

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Référence technique et guide d'architecture

Calculateur Équation du Second Degré — Guide de référence

Résolvez toute équation du second degré grâce à ce calculateur algébrique : calcul du discriminant (Δ), racines réelles ou complexes, coordonnées du sommet et étapes détaillées avec radicaux exacts.

Calculateur Équation du Second Degré — Guide de référence — Architecture en mémoire côté client et flux de données
Calculateur Équation du Second Degré — Guide de référence — Architecture en mémoire côté client et flux de données

Paramètres clés et contrôles

Coefficient dominant quadratique (a)Scalaire réel non nul (a ≠ 0)

Détermine la concavité et l'ouverture de la parabole. Si a > 0, la courbe est convexe (tournée vers le haut en forme de cuvette) et admet un minimum global en son sommet. Si a < 0, la courbe est concave (tournée vers le bas en cloche) et atteint un maximum global. Si a = 0, le polynôme dégénère en une équation linéaire bx + c = 0, rendant la formule quadratique inapplicable.

Par défaut : 1
Coefficient linéaire (b)Scalaire réel

Régule le déplacement horizontal du sommet et la pente de la parabole à l'intersection avec l'axe des ordonnées (f'(0) = b). Lorsque b = 0, la parabole est parfaitement symétrique par rapport à l'axe vertical des ordonnées, son sommet étant situé directement sur cet axe.

Par défaut : -5
Terme constant (c)Scalaire réel

Définit la translation verticale et l'ordonnée à l'origine exacte au point de coordonnées (0, c). Modifier c déplace la parabole vers le haut ou vers le bas sans altérer sa courbure ni son axe de symétrie, modulant directement la valeur du discriminant Δ.

Par défaut : 6
Discriminant algébrique (Δ = b² - 4ac)Indicateur scalaire réel

Radicande fondamental de la formule quadratique déterminant le nombre et la nature des racines ainsi que la topologie de la courbe. Si Δ > 0, l'équation admet deux racines réelles distinctes. Si Δ = 0, il existe une racine réelle double (le sommet est tangent à l'axe des abscisses). Si Δ < 0, l'équation admet deux racines complexes conjuguées.

Par défaut : 1

Conseils de pro et bonnes pratiques

Piège du signe lors de l'évaluation de -b / (2a) avec b négatif

L'erreur algébrique la plus fréquente survient lorsque le coefficient b est négatif (par exemple b = -6). Le premier terme -b impose d'inverser le signe : -(-6) = +6. L'oubli des parenthèses lors de la substitution manuelle entraîne une inversion de signe complète, faussant à la fois l'axe de symétrie du sommet et le calcul des racines.

Éviter l'annulation catastrophique en virgule flottante (Formule de Citardauq)

Lorsque b² est de plusieurs ordres de grandeur supérieur à 4ac (par exemple b = 10 000, a = 1, c = 1), la soustraction standard b - √(b² - 4ac) en virgule flottante perd ses chiffres significatifs par annulation catastrophique. Les analystes numériques utilisent la formulation de Citardauq : on calcule d'abord la racine dominante x₁ = (-b - sgn(b)√Δ) / (2a), puis on déduit la seconde racine via les relations de Viète x₂ = c / (a · x₁), garantissant une précision numérique maximale.

Stratégie de simplification exacte des radicaux

Ne convertissez jamais prématurément les racines irrationnelles en valeurs décimales arrondies au cours d'une démonstration. Extrayez le plus grand carré parfait k² du discriminant Δ de sorte que Δ = k² · m (où m est sans facteur carré). Simplifiez ensuite le numérateur et le dénominateur par leur PGCD gcd(|b|, k, |2a|) pour obtenir la forme exacte canonique irréductible (par exemple, (6 ± 2√3)/4 se réduit rigoureusement à (3 ± √3)/2).

Symétrie des racines complexes conjuguées pour les polynômes réels

D'après le théorème des racines complexes conjuguées, dès lors que les coefficients a, b et c sont réels et que le discriminant est strictement négatif, les racines non réelles apparaissent nécessairement sous forme de paires conjuguées : x = α ± βi, où la partie réelle α = -b / (2a) correspond à l'axe géométrique de symétrie de la parabole, et la partie imaginaire β = √(4ac - b²) / (2a) traduit l'écart vertical par rapport à l'axe des abscisses.

Pièges courants et dépannage

⚠️Coefficient dominant « a » saisi à zéro (erreur de division par zéro)

Une équation du second degré exige formellement que a ≠ 0. Si a = 0, l'équation dégénère en une équation linéaire du premier degré bx + c = 0, qui ne comporte qu'une unique solution x = -c/b. Saisissez une valeur non nulle pour « a » afin d'activer la résolution quadratique.

⚠️Termes de l'équation répartis de part et d'autre du signe égal (ex. ax² + bx = c)

La formule quadratique s'applique exclusivement à la forme standard ax² + bx + c = 0. Si votre équation se présente sous la forme 2x² + 5x = 12, soustrayez 12 de chaque côté pour obtenir 2x² + 5x - 12 = 0, identifiant ainsi c = -12 et non +12.

⚠️Affichage inattendu de l'unité imaginaire « i » ou de racines complexes

Lorsque le discriminant Δ = b² - 4ac est strictement négatif, la racine carrée porte sur un nombre négatif, ce qui signifie géométriquement que la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses. Le solveur renvoie alors des racines complexes conjuguées α ± βi où i = √(-1). Si vous attendiez des solutions réelles, vérifiez les signes de vos coefficients.

⚠️Absence du terme linéaire en « x » ou du terme constant « c »

Si votre équation ne comporte pas de terme en x (par exemple x² - 9 = 0), fixez simplement b = 0. Si elle ne contient pas de terme constant indépendant (par exemple 3x² + 6x = 0), fixez c = 0. Les équations quadratiques incomplètes sont parfaitement valides et se résolvent directement avec la formule standard.

Foire aux questions (FAQ)

Quelle est la formule générale de résolution d'une équation du second degré ax² + bx + c = 0 ?▼

La formule générale de résolution quadratique est x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). Déduite de la forme canonique (complétion du carré) appliquée au polynôme général ax² + bx + c = 0 (avec a ≠ 0), elle exprime les racines directement en fonction des coefficients a, b et c. Le symbole « ± » sépare le calcul en deux branches : l'une additionnant la racine carrée du discriminant et l'autre la soustrayant.

Que révèle le discriminant (b² - 4ac) sur les racines d'un polynôme ?▼

Le discriminant Δ = b² - 4ac indique le nombre et la nature des solutions sans qu'il soit nécessaire d'achever l'évaluation complète : si Δ > 0, l'équation admet deux racines réelles distinctes et la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points ; si Δ = 0, il existe une unique racine réelle double où le sommet de la parabole est tangent à l'axe ; si Δ < 0, il existe deux racines complexes conjuguées (α ± βi) et la courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses.

Quand privilégier la formule générale par rapport à la factorisation ou à la forme canonique ?▼

Privilégiez la factorisation simple lorsque le produit a · c se décompose en facteurs entiers dont la somme vaut b, offrant des solutions rationnelles immédiates. Utilisez la forme canonique (complétion du carré) lorsque a = 1 et que b est un entier pair afin d'identifier rapidement le sommet sous la forme y = a(x - h)² + k. Recourez systématiquement à la formule générale quadratique dès lors que les racines sont irrationnelles ou complexes, ou que les coefficients sont des nombres décimaux arbitraires impossibles à factoriser de tête.

Comment déterminer les coordonnées du sommet et l'axe de symétrie de la parabole ?▼

L'abscisse du sommet de la parabole se situe exactement à mi-chemin entre les deux racines en h = -b / (2a), qui correspond à la composante rationnelle de la formule quadratique précédant le radical « ± ». La droite verticale d'équation x = -b / (2a) constitue l'axe de symétrie. En réinjectant cette abscisse dans f(x), on obtient l'ordonnée du sommet k = c - b² / (4a) = -Δ / (4a).

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