合同方程式やモジュロ逆元、べき乗剰余を瞬時に算出する合同式計算ツール。拡張ユークリッド互除法のステップ解説や時計演算の可視化にも対応しています。
目標値の説明
| ステップ | 被除数 | 除数 | 商 | 剰余 | ベズー係数 s | ベズー係数 t |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 24 | 19 | 1 | 5 | 1 | 0 |
| 2 | 19 | 5 | 3 | 4 | -1 | 1 |
| 3 | 5 | 4 | 1 | 1 | 4 | -3 |
| 4 | 4 | 1 | 4 | 0 | -5 | 4 |
19 + 130 \equiv 5 \pmod{24}基数と法が互いに素（最大公約数が 1）である場合にモジュロ乗法逆元が存在します。
合同式 a · x ≡ 1 (mod m) を満たす一意の乗法逆数です。
法 m と互いに素な 1 以上 m 以下の整数の個数（群の位数）です。
合同方程式、モジュロ乗法逆元、べき乗剰余、合同式の計算に対応した高精度モジュロ計算機。拡張ユークリッドの互除法によるステップ別計算過程や時計演算のビジュアル表示も網羅しています。
除算またはべき乗の対象となる基本整数オペランド。正の数・負の数・ゼロのいずれも指定可能で、BigInt仕様により64ビットIEEE 754浮動小数点数の丸め誤差を伴わず正確に処理されます。
剰余環（ℤ/mℤ）を決定する正の整数除数。1以上の整数である必要があり、m ≧ 2 で可換環を形成し、mが素数の場合は有限体（ガロア体 GF(p)）を構成します。
数学的なユークリッド除法において、a = q × m + r かつ 0 ≦ r < m を満たす唯一に決定される非負の余り（剰余）。
(a × x) ≡ 1 (mod m) を満たす整数 x。a と m が互いに素（最大公約数 gcd(a, m) = 1）の場合にのみ存在し、拡張ユークリッドの互除法によって算出されます。
1からmまでの整数のうち、mと互いに素である自然数の個数。モジュロ演算において、gcd(a, m) = 1 を満たすすべてのaに対して a^φ(m) ≡ 1 (mod m) が成立します（オイラーの定理）。
C言語、C++、JavaScriptにおける % 演算子は、被除数の符号を保持するゼロ方向切り捨ての「剰余演算子」です（例: -7 % 5 = -2）。一方、離散数学やPythonでは床関数に基づくユークリッド除法が採用され、常に 0 ≦ r < m となります（例: -7 mod 5 = 3）。JavaScript等の開発で数学的に正しい非負の剰余を得るには、必ず ((n % m) + m) % m で正規化してください。
モジュロ演算の世界では、通常の算術のように単に a / b mod m を計算することはできません。モジュロ除算 (a / b) mod m は乗法逆元を用いた (a × b⁻¹) mod m として定義され、gcd(b, m) = 1（互いに素）のときに限り成立します。gcd(b, m) > 1 の場合は、通常計算で割り切れる数値であってもモジュロ除算は未定義（解なし）となります。
(a^b) mod m を計算する際、先に a^b を求めてから mod を適用してはいけません。3^1000 程度の中規模な指数でも数百桁に達し、スタックメモリが枯渇します。常にバイナリ法（繰り返し二乗法）を用い、二乗および乗算の各中間ステップごとに法 m による剰余縮小を行うことで、数値を常に m² 未満に抑えて計算してください。
一次合同式 a × x ≡ b (mod m) を解く際、d = gcd(a, m) > 1 かつ d が b を割り切るならば、解は1つだけではなく、mod m において互いに合同でない解がちょうど d 個存在します。これらの各解は正確に m / d の等間隔で分布します。
被除数 a と法 m の最大公約数（gcd）を確認してください。モジュロ乗法逆元 a⁻¹ mod m は gcd(a, m) = 1（互いに素）のときにのみ存在します。gcd(a, m) = d > 1 である場合、a と m は共通の素因数を持つため、いかなる整数 x に対しても a × x は常に d の倍数となり、mod m において 1 になることは原理的にあり得ません。
計算モードの選択を「プログラミング仕様（切り捨て除算）」から「数学仕様（非負剰余）」に切り替えてください。コンピュータ言語は商をゼロ方向に切り捨てるため負の余りが発生しますが、離散数学では 0 ≦ r < m が必須です。本計算機の数学モードでは ((n % m) + m) % m を自動適用し、正しい剰余を導出します。
ゼロ除算および mod 0 は、a = q × 0 + r を満たす一意の商 q が存在しないため数学的に未定義です。法 m には必ず 1 以上の整数（自明でない剰余環を形成する場合は 2 以上の整数）を指定してください。
中国の剰余定理（CRT）は、すべての法 m₁, m₂, ..., mₖ が互いに素（すべての i ≠ j に対して gcd(mᵢ, mⱼ) = 1）であることを前提条件とします。法同士に共通因数が含まれる場合は、拡張CRT（一般化CRT）を用いて合同式同士が矛盾していないか整合性を検証してください。条件を満たさない場合、共通整数解は存在しません。
負の数の数学的モジュロ n mod m を計算するには、ユークリッド除法の公式 r = ((n % m) + m) % m を使用します。例えば -17 mod 5 の場合、-17 を 5 で割ると商が -4、余りが 3 となります（-4 × 5 + 3 = -17 が成立するため）。C++ や JavaScript ではゼロ方向切り捨てにより -2 が返されますが、離散数学における剰余は厳密に非負（0 ≦ r < m）として定義されます。
整数 a の法 m におけるモジュロ乗法逆元とは、(a × x) ≡ 1 (mod m) を満たす整数 x のことです。この逆元は a と m が互いに素（最大公約数 gcd(a, m) = 1）である場合に限り存在します。互いに素である場合、拡張ユークリッドの互除法によって a × x + m × y = 1 を満たす整数 x, y が算出され、その係数 x を mod m で剰余縮小した値が一意の逆元となります。
最大の違いは整数除算における丸め処理の方向にあります。剰余演算子（C言語、C++、JavaScriptの % など）は商をゼロ方向へ切り捨てる（trunc(a / m)）ため、被除数が負のときに余りも負数になります。一方、数学的なモジュロ演算子は商を負の無限大方向へ切り捨てる床関数（floor(a / m)）を採用しており、余りは常に非負となり 0 ≦ r < m の範囲に収まります。
一次合同式 a × x ≡ b (mod m) を解く手順は次の通りです。まず最大公約数 d = gcd(a, m) を計算します。d が b を割り切れない場合、解は存在しません。d が b を割り切れる場合、式全体を d で割って (a/d) × x ≡ (b/d) (mod m/d) に簡約します。次に拡張ユークリッドの互除法を用いてモジュロ逆元 k = (a/d)⁻¹ mod (m/d) を求めます。基本解は x₀ = (k × (b/d)) mod (m/d) となり、mod m における互いに異なる d 個の全解は xᵢ = x₀ + i × (m / d)（i = 0, 1, ..., d - 1）によって求められます。
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