Calculadora Serie de Taylor & Maclaurin

Calculadora Serie de Taylor & Maclaurin

Calcula desarrollos en series de Taylor y polinomios de Maclaurin con derivadas paso a paso, cota de error de Lagrange, radio de convergencia y gráficas interactivas.

Funciones predefinidas
Panel de control
f(x)
Acceso rápido
a
x
n = 7
Término constante (n = 0)4812Grado máximo
Modo de visualización
Estado del disco de convergenciaDentro del disco (R = ∞)
Cálculo inverso de grado (n necesario)

Calcula el grado mínimo n necesario para que el residuo de Lagrange no supere la tolerancia de error ε especificada.

Grado mínimo requeridoTolerancia de error objetivo (ej. 1e-6) 0.0001
Grado mínimo requerido: 7
Desplazamiento del centro

Ajusta el centro de desarrollo a para optimizar la convergencia local y minimizar el error cerca del valor evaluado.

Valor aproximado0.866021
Valor exacto0.866025
Error absoluto4.1321e-6
Cota de Lagrange≤ 3.5868e-5
Gráfico interactivo
Función exacta f(x)Aproximación de Taylor P(x)Centro (a)Punto evaluado (x)
Gráfico interactivo de la aproximación de Taylor vs. f(x)
Ajustar orden del polinomio (n)7
Inspeccionar punto x1.05
f(1.05) = 0.866P_7(1.05) = 0.866|Δ| = 4.1321e-6
Notación sumatoria (∑)
P_{7}(x) = \sum_{k=0}^{7} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k
Polinomio de Taylor desarrollado
P_7(x) = x - 1/6x^3 + 1/120x^5 - 1/5040x^7
Radio de convergenciaR = ∞
Intervalo de convergencia(-∞, +∞)

Aviso académico: Herramienta pedagógica orientada al cálculo infinitesimal y métodos numéricos. Verifica siempre las hipótesis de derivabilidad e intervalos de convergencia en tus ejercicios.

Función objetivo f(x)sin(x)
Centro de desarrollo (a)0
Grado del polinomio (n)n = 7
Punto de evaluación (x)1.047
Error absoluto4.1321e-6
Radio de convergenciaR = ∞

Procesamiento en el navegador

Cálculo de alto rendimiento ejecutado íntegramente en la memoria del navegador.

Privacidad sin envío a servidores

Todos los datos permanecen estrictamente locales, sin comunicación con servidores externos.

Exportación lista para producción

Formatos de salida limpios y optimizados, listos para su uso inmediato.

ToolsAA•Utilidades web 100% privadas en el cliente
Referencia técnica y guía de arquitectura

Calculadora Serie de Taylor & Maclaurin — Guía de referencia

Calcula desarrollos en series de Taylor y polinomios de Maclaurin con derivadas paso a paso, cota de error de Lagrange, radio de convergencia y gráficas interactivas.

Calculadora Serie de Taylor & Maclaurin — Guía de referencia — Arquitectura en memoria del lado del cliente y flujo de datos
Calculadora Serie de Taylor & Maclaurin — Guía de referencia — Arquitectura en memoria del lado del cliente y flujo de datos

Parámetros clave y controles

Función continua objetivo f(x)Expresión matemática analítica

Debe ser infinitamente diferenciable (suave o de clase C^∞) en un entorno abierto que contenga tanto el centro de desarrollo a como el punto de evaluación x. Las funciones con ramas de corte, discontinuidades de salto o puntos angulosos no derivables entre a y x invalidan el desarrollo en serie de Taylor.

Por defecto: sin(x)
Centro de desarrollo aConstante de coordenada real

Coordenada base de anclaje donde se evalúan las derivadas sucesivas f^{(k)}(a). Fijar a = 0 define una serie de Maclaurin; situar a más cerca del punto de evaluación x minimiza el término de distancia |x - a|, acelerando drásticamente la convergencia del polinomio.

Por defecto: 0
Grado del polinomio nOrden de truncamiento entero no negativo

Mayor potencia conservada en la sumatoria parcial. La estabilidad numérica práctica suele abarcar los órdenes del 1 al 16; órdenes superiores pueden provocar desbordamiento de factoriales más allá de la precisión doble IEEE 754 o cancelación catastrófica por sustracción en punto flotante.

Por defecto: 5
Punto de evaluación xPunto objetivo del dominio real

Punto exacto donde se evalúa numéricamente el polinomio construido P_n(x) frente al valor real f(x) para determinar el error absoluto, el error residual relativo y el cumplimiento de la cota del resto de Lagrange.

Por defecto: 1.047198
Umbral de tolerancia de precisión épsilonMagnitud estricta de tolerancia de error

Límite máximo de resto admisible para el cálculo inverso del grado. El algoritmo itera el orden n hasta que la cota superior teórica del resto de Lagrange |R_n(x)| desciende estrictamente por debajo de este umbral positivo.

Por defecto: 0.0001

Consejos profesionales y mejores prácticas

Las singularidades complejas limitan el radio de convergencia real

Aunque una función sea perfectamente suave en toda la recta real, su serie de Taylor puede presentar un radio de convergencia R finito debido a polos en el plano complejo. Por ejemplo, f(x) = 1 / (1 + x^2) es diferenciable para todo x real, pero su serie de Maclaurin diverge para |x| >= 1 porque existen polos complejos en x = ±i a una distancia 1 del origen.

Cota de error en series alternadas frente al resto de Lagrange

Al evaluar una serie de Taylor alternada cuyos términos decrecen monótonamente hacia cero (como los desarrollos de Maclaurin para sin(x) o cos(x) en intervalos reducidos), el error absoluto del truncamiento en el término n es estrictamente menor que el valor absoluto del siguiente término no nulo |a_{n+1}|. Esto elimina la necesidad de calcular la cota superior máxima de f^{(n+1)}(ξ).

Cancelación catastrófica en punto flotante con potencias elevadas

Evaluar polinomios de grado elevado mediante la forma estándar sum c_k*(x - a)^k puede provocar una grave cancelación catastrófica si los términos alternados alcanzan valores intermedios muy grandes antes de restarse. Evalúa siempre los polinomios truncados mediante el método de Horner o centrado factorizado para preservar los 53 bits de precisión en punto flotante (IEEE 754).

Reubicar estratégicamente el centro supera aumentar grados altos

En lugar de elevar el orden del polinomio de n = 5 a n = 15 para calcular una aproximación en un punto distante x, desplazar el centro a desde 0 hasta un valor estándar cercano (como desarrollar sin(x) en π/3 en vez de 0) proporciona una precisión numérica muy superior con tan solo un polinomio de grado 2 o 3.

Problemas comunes y soluciones

⚠️Desbordamiento factorial o resultado NaN en polinomios de orden alto

Los factoriales crecen a un ritmo astronómico: 14! = 87.178.291.200 y 171! supera el límite estándar IEEE 754 de 1,797e+308. Para grados superiores a 12, calcula los términos de manera recursiva mediante la relación de recurrencia término_{k} = término_{k-1} * (x - a) / k para evitar el desbordamiento individual del factorial en el denominador.

⚠️Valores del polinomio divergentes hacia más o menos infinito

Verifica si el punto de evaluación x se encuentra estrictamente dentro del intervalo abierto de convergencia (a - R, a + R). Si |x - a| >= R, la serie de Taylor es divergente por definición, lo que hace que los polinomios de mayor grado oscilen descontroladamente alejándose del valor real de la función.

⚠️Discrepancia entre el grado indicado y el número de términos no nulos mostrados

Las funciones con simetría par o impar tienen derivadas nulas en el origen. Por ejemplo, el polinomio de Maclaurin de grado 5 para sin(x) contiene términos de grado 1, 3 y 5; los coeficientes de grado 0, 2 y 4 son 0. Asegúrate de especificar el grado máximo n del polinomio y no la cantidad total de términos no nulos.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cómo calcular un desarrollo en serie de Taylor con la fórmula exacta?▼

Para calcular la serie de Taylor de orden n de una función suave f(x) centrada en a, aplica la fórmula P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + [f''(a)/2!](x - a)^2 + ... + [f^{(n)}(a)/n!](x - a)^n. Primero, calcula las derivadas simbólicas continuas hasta el orden n; luego, sustituye x = a en cada derivada para obtener los coeficientes numéricos, divide cada valor entre su factorial correspondiente k! y multiplica el resultado por el término de potencia (x - a)^k.

¿Cuál es la diferencia entre una serie de Taylor y una serie de Maclaurin?▼

La serie de Maclaurin es un caso particular de la serie de Taylor en el que el centro de desarrollo se fija en cero (a = 0). Mientras que la serie general de Taylor desarrolla funciones alrededor de cualquier coordenada real a mediante potencias de (x - a), la serie de Maclaurin lo hace exclusivamente alrededor del origen utilizando potencias de x, simplificando la fórmula a sum_{k=0}^n [f^{(k)}(0)/k!] * x^k.

¿Cómo se calcula la cota de error de Lagrange para un polinomio de Taylor?▼

La fórmula de la cota de error de Lagrange es |R_n(x)| <= [M / (n+1)!] * |x - a|^{n+1}, donde M representa el valor absoluto máximo de la derivada de orden (n+1), |f^{(n+1)}(ξ)|, en el intervalo cerrado delimitado por el centro de desarrollo a y el punto de evaluación x. Al determinar esta cota superior M, obtienes el error de truncamiento teórico máximo entre el polinomio aproximador P_n(x) y la función exacta f(x).

¿Por qué un polinomio de Taylor diverge aunque la función sea continua?▼

Un polinomio de Taylor diverge cuando el punto de evaluación x se sitúa fuera del radio de convergencia R de la serie, determinado por la distancia desde el centro a hasta la singularidad más cercana en el plano complejo. Fuera de dicho radio (|x - a| > R), los términos de orden superior crecen de forma ilimitada en lugar de converger a cero, invalidando la aproximación polinomial con independencia de que la función sea continua en la recta real.

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