Calculadora Regra de Simpson (1/3 & 3/8)

Calculadora Regra de Simpson (1/3 & 3/8)

Calcule integrais definidas com a calculadora das regras de 1/3 e 3/8 de Simpson. Fórmulas compostas passo a passo, estimativa de erro, malha de subintervalos e gráficos da curva.

Presets:
Quadrature Parameters & Integrand
Variable: x
Quick test:

Supports powers (^), polynomials, exp, sqrt, sin, cos, ln, and constants (pi, e).

6 Panels
Step Size h = (b - a) / n: 0.166677 Evaluation Nodes
Target Tolerance Reverse Solver

Find the exact minimum number of subintervals (n) required to guarantee your desired precision.

Minimum Required Subintervals (n)4
Maximum Allowable Panel Width (h)0.25
Fourth Derivative Ceiling |f⁴(x)|: 1.197Guaranteed Truncation Bound: 2.5973e-5
Definite Integral Approximation0.341347Simpson's 1/3 Rule
Theoretical Error Bound |E|5.1304e-6O(h⁴) Truncation Ceiling
Richardson High-Precision Benchmark0.341345N=512 Extrapolated
Uniform Step Size (h)0.16667n = 6 Subintervals
Parabolic Osculating Curve Visualizer
Exact Function f(x)
Piecewise Simpson Parabolas
Evaluation Ordinates (xi, yi)
Quadrature Residual Area
a = 0b = 1

Quadrature Execution Summary

Definite integral evaluation calculated via composite Newton-Cotes parabolic interpolation.

Applied Quadrature Formulation:Simpson's 1/3 Rule (Parabolic)
Total Subinterval Panels:6 panels
Total Evaluation Ordinates (n + 1):7 nodes
Panel Interval Width (h):0.166667
Algebraic Degree of Precision:Degree 3 (Exact for cubics & quadratics)
Richardson Benchmark Value:0.3413447
Absolute Error Deviation:2.0953e-6
Theoretical Convergence Order:O(h⁴) Quartic Convergence
Analytical Note: Because Simpson's 1/3 rule fits a symmetric second-degree parabola over pairs of panels, odd third-degree polynomial terms cancel out entirely, providing exact zero-truncation precision for any cubic curve ax³ + bx² + cx + d!
Current Integral0.341347
Error Ceiling5.1304e-6
Local Execution< 1 ms (Zero Float Drift)

Empathetic notice: Numerical quadratures approximate real-world curves by fitting smooth arches. Ensure your function has no infinite singularities within the boundaries for peak mathematical fidelity.

Processamento no Navegador

Cálculo de alto desempenho executado inteiramente na memória do navegador.

Privacidade sem Envio ao Servidor

Todos os dados permanecem estritamente locais, sem qualquer comunicação com servidores externos.

Exportação Pronta para Produção

Formatos de saída limpos e otimizados, prontos para uso imediato.

ToolsAA•Utilitários web 100% privados no cliente
Referência técnica e guia de arquitetura

Calculadora Regra de Simpson (1/3 & 3/8) — Guia de referência

Calcule integrais definidas com a calculadora das regras de 1/3 e 3/8 de Simpson. Fórmulas compostas passo a passo, limites de erro, malha de subintervalos e gráficos da curva.

Calculadora Regra de Simpson (1/3 & 3/8) — Guia de referência — Arquitetura em memória do lado do cliente e fluxo de dados
Calculadora Regra de Simpson (1/3 & 3/8) — Guia de referência — Arquitetura em memória do lado do cliente e fluxo de dados

Parâmetros-chave e controles

Função Contínua Integranda f(x)expressão algébrica ou transcendental

Curva contínua ou equação de taxa física definida no intervalo fechado de avaliação [a, b]. Para garantir a convergência numérica e estimativas de erro válidas, a função deve permanecer finita, sem polos de divisão por zero, assíntotas verticais ou oscilações infinitas irregulares.

Padrão: x * sin(x)
Limites de Integração Definida [a, b]coordenadas reais finitas

Limite inferior inicial (a) e limite superior final (b) que definem o intervalo de integração. Inverter a posição dos limites de modo que a > b inverte o sentido de integração e troca o sinal da área final calculada, em conformidade com as regras de orientação de sinais do cálculo integral.

Padrão: a = 0, b = 3.14159
Número de Subintervalos (n)inteiro positivo par ou múltiplo de 3

Número total de faixas uniformes em que o intervalo é dividido. A regra de 1/3 de Simpson exige estritamente um número par de partições (n >= 2, divisível por 2) para conectar pares de painéis. A regra de 3/8 de Simpson requer partições divisíveis por 3 (n >= 3). O modo híbrido aceita perfeitamente qualquer valor n >= 3.

Padrão: 6
Tolerância de Erro Alvo (epsilon)limiar real positivo

Erro numérico absoluto de truncamento máximo permitido para o refinamento automático da malha. O algoritmo avalia o critério da quarta derivada |E_n| <= ((b - a)^5 * M_4) / (180 * n^4) para calcular o número mínimo de divisões necessário para garantir a precisão dentro dos limites práticos de ponto flutuante (>= 1e-12).

Padrão: 0.0001
Padrão de Ângulo Trigonométricounidade de medida angular

Referencial de cálculo para funções periódicas e de onda. A integração definida e as aproximações por série de Taylor exigem fundamentalmente o modo Radianos; o modo Graus converte os valores de entrada multiplicando-os por pi/180 antes de avaliar as ordenadas da função.

Padrão: radianos

Dicas profissionais e melhores práticas

Anomalia do Grau de Precisão para Polinômios Cúbicos

Embora a regra de 1/3 de Simpson conecte pontos por meio de parábolas quadráticas (grau 2), ela integra com exatidão qualquer polinômio cúbico de 3º grau (ax^3 + bx^2 + cx + d) com erro de truncamento nulo. Isso ocorre porque a simetria de ordem ímpar da fórmula de Newton-Cotes de 3 pontos faz com que o termo de erro da terceira derivada se anule por completo, deixando o primeiro termo de erro ativo dependente da quarta derivada f''''(xi).

Tratamento de Subintervalos Ímpares com Hibridização 1/3 e 3/8

Quando dados experimentais fornecerem um número ímpar de subintervalos (como n = 7), nunca rebaixe o cálculo para a regra dos trapézios de segunda ordem. Aplique a regra de 1/3 de Simpson nos primeiros n - 3 painéis (uma partição par) e calcule os 3 painéis finais com a regra de 3/8 de Simpson, preservando a convergência uniforme de quarta ordem O(h^4) em todo o domínio.

Prevenção do Fenômeno de Runge via Subdivisões Compostas

A tentativa de ajustar um único polinômio de alta ordem em intervalos extensos introduz fortes oscilações nas extremidades, conhecidas como fenômeno de Runge. A quadratura de Simpson composta elimina essa instabilidade ao restringir curvas quadráticas de baixa ordem a pequenos painéis locais de largura 2h, conduzindo o erro global para baixo a uma taxa de O(h^4).

Tratamento de Singularidades nos Limites por Mudança de Variável

Funções integrandas com inclinação infinita ou singularidades nas fronteiras (como 1 / sqrt(x) em x = 0) fazem com que as cotas de erro da quarta derivada convirjam para o infinito. Solucione isso antes da computação aplicando uma mudança algébrica de variável (definindo x = u^2, logo dx = 2u du) para transformar o integrando em uma função suave e analiticamente bem-comportada.

Armadilhas comuns e solução de problemas

⚠️O número de subintervalos n deve ser um número inteiro par na Regra de 1/3 de Simpson

A regra de 1/3 de Simpson constrói curvas quadráticas sobre pares de 2 painéis, exigindo um número par de subintervalos (n) e um número ímpar de ordenadas (n + 1). Aumente n em 1 para torná-lo par ou alterne o Modo de Quadratura para 'Híbrido 1/3 + 3/8' para processar subintervalos ímpares sem perda de precisão.

⚠️A aproximação numérica trigonométrica diverge significativamente do valor analítico esperado

A expressão trigonométrica foi avaliada no modo Graus, enquanto a dedução analítica do cálculo pressupõe Radianos. A diferenciação numérica e as expansões em séries de Taylor dependem da unidade em radianos; mude o seletor de Unidade Angular para 'Radianos' para restabelecer a precisão.

⚠️O solucionador inverso de erro retorna NaN ou exige um número excessivo de subintervalos

Ocorre quando a quarta derivada f''''(x) possui uma assíntota vertical local ou quando a tolerância epsilon especificada é mais restrita do que os limites de precisão dupla do padrão IEEE 754 (~1e-15). Certifique-se de que a função integranda seja quatro vezes continuamente diferenciável em [a, b] e defina epsilon >= 1e-12.

⚠️Pico severo de erro ao integrar funções periódicas de alta frequência

Se o passo da malha h = (b - a) / n for superior a meio comprimento de onda da oscilação (h > lambda / 2), ocorre aliasing espacial e os arcos parabólicos não captam os picos da onda. Aumente n para que os subintervalos satisfaçam o critério de amostragem de Nyquist-Shannon: n > 2 * (b - a) * f_max.

Perguntas frequentes (FAQ)

Qual é a fórmula da regra de 1/3 de Simpson?▼

A fórmula da regra composta de 1/3 de Simpson é S = (h / 3) * [f(x_0) + 4 * Soma(f(x_ímpares)) + 2 * Soma(f(x_pares)) + f(x_n)], onde h = (b - a) / n e n é um número inteiro par. Ela calcula a integral definida ajustando parábolas quadráticas por partes através de grupos de três pontos consecutivos ao longo do domínio.

Qual é a diferença entre a regra de 1/3 e a regra de 3/8 de Simpson?▼

A regra de 1/3 de Simpson ajusta parábolas quadráticas de 2º grau sobre pares de 2 intervalos (exigindo que n seja múltiplo de 2) com pesos [1, 4, 2, 4, ..., 1] multiplicados por h/3. Já a regra de 3/8 de Simpson ajusta polinômios cúbicos de 3º grau sobre grupos de 3 intervalos (exigindo que n seja múltiplo de 3) com pesos [1, 3, 3, 2, 3, 3, ..., 1] multiplicados por 3h/8. Ambas possuem convergência de quarta ordem O(h^4), mas a regra de 3/8 possibilita a partição exata de conjuntos de dados com múltiplos de três intervalos.

Por que a regra de 1/3 de Simpson exige um número par de intervalos?▼

A regra de 1/3 de Simpson exige um número par de intervalos porque cada aproximação parabólica requer três pontos de avaliação consecutivos que abrangem dois subintervalos adjacentes (uma largura de 2h). O encadeamento de m parábolas consecutivas em [a, b] exige exatamente n = 2m subintervalos (um número inteiro par) e n + 1 pontos de avaliação no total.

Como calcular o limite de erro da regra de Simpson?▼

O limite do erro de truncamento da regra composta de 1/3 de Simpson é |E_s| <= ((b - a)^5 / (180 * n^4)) * max|f''''(x)| no intervalo [a, b]. Para a regra de 3/8 de Simpson, o limite é |E_3/8| <= ((b - a)^5 / (80 * n^4)) * max|f''''(x)|. Se f(x) for qualquer polinômio de grau 3 ou menor, sua quarta derivada é identicamente nula, fornecendo um resultado numérico exato com erro de truncamento zero.

A regra de Simpson é mais precisa que a regra dos trapézios?▼

Sim, a regra de Simpson é substancialmente mais precisa para funções suaves porque o seu erro decai a uma taxa de quarta ordem O(h^4) = O(1/n^4), enquanto o erro da regra dos trapézios diminui a uma taxa de segunda ordem O(h^2) = O(1/n^2). Dobrar o número de subintervalos (n -> 2n) reduz o erro dos trapézios por um fator de 4, mas reduz o erro de Simpson por um fator de 16.

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