Calculadora Regla de Simpson (1/3 & 3/8)

Calculadora Regla de Simpson (1/3 & 3/8)

Calcula integrales definidas con la regla de Simpson 1/3 y 3/8. Fórmulas compuestas paso a paso, cotas de error, malla de subintervalos y gráficas de curvas.

Presets:
Quadrature Parameters & Integrand
Variable: x
Quick test:

Supports powers (^), polynomials, exp, sqrt, sin, cos, ln, and constants (pi, e).

6 Panels
Step Size h = (b - a) / n: 0.166677 Evaluation Nodes
Target Tolerance Reverse Solver

Find the exact minimum number of subintervals (n) required to guarantee your desired precision.

Minimum Required Subintervals (n)4
Maximum Allowable Panel Width (h)0.25
Fourth Derivative Ceiling |f⁴(x)|: 1.197Guaranteed Truncation Bound: 2.5973e-5
Definite Integral Approximation0.341347Simpson's 1/3 Rule
Theoretical Error Bound |E|5.1304e-6O(h⁴) Truncation Ceiling
Richardson High-Precision Benchmark0.341345N=512 Extrapolated
Uniform Step Size (h)0.16667n = 6 Subintervals
Parabolic Osculating Curve Visualizer
Exact Function f(x)
Piecewise Simpson Parabolas
Evaluation Ordinates (xi, yi)
Quadrature Residual Area
a = 0b = 1

Quadrature Execution Summary

Definite integral evaluation calculated via composite Newton-Cotes parabolic interpolation.

Applied Quadrature Formulation:Simpson's 1/3 Rule (Parabolic)
Total Subinterval Panels:6 panels
Total Evaluation Ordinates (n + 1):7 nodes
Panel Interval Width (h):0.166667
Algebraic Degree of Precision:Degree 3 (Exact for cubics & quadratics)
Richardson Benchmark Value:0.3413447
Absolute Error Deviation:2.0953e-6
Theoretical Convergence Order:O(h⁴) Quartic Convergence
Analytical Note: Because Simpson's 1/3 rule fits a symmetric second-degree parabola over pairs of panels, odd third-degree polynomial terms cancel out entirely, providing exact zero-truncation precision for any cubic curve ax³ + bx² + cx + d!
Current Integral0.341347
Error Ceiling5.1304e-6
Local Execution< 1 ms (Zero Float Drift)

Empathetic notice: Numerical quadratures approximate real-world curves by fitting smooth arches. Ensure your function has no infinite singularities within the boundaries for peak mathematical fidelity.

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Cálculo de alto rendimiento ejecutado íntegramente en la memoria del navegador.

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Referencia técnica y guía de arquitectura

Calculadora Regla de Simpson 1/3 & 3/8 — Guía de referencia

Calcula integrales definidas con la calculadora de la regla de Simpson 1/3 y 3/8. Fórmulas compuestas paso a paso, cotas de error, mallas de subintervalos y gráficas.

Calculadora Regla de Simpson 1/3 & 3/8 — Guía de referencia — Arquitectura en memoria del lado del cliente y flujo de datos
Calculadora Regla de Simpson 1/3 & 3/8 — Guía de referencia — Arquitectura en memoria del lado del cliente y flujo de datos

Parámetros clave y controles

Función continua del integrando f(x)expresión algebraica o trascendente

Curva continua o ecuación de tasa física definida en el intervalo cerrado de evaluación [a, b]. Para garantizar la convergencia numérica y estimaciones de error válidas, la función debe permanecer finita, sin indeterminaciones por división entre cero, asíntotas verticales ni oscilaciones infinitas irregulares.

Por defecto: x * sin(x)
Límites de integración definida [a, b]coordenadas reales finitas

Límite inferior inicial (a) y límite superior final (b) que definen el intervalo de integración. Invertir el orden de los límites de modo que a > b invierte el sentido de integración y cambia el signo del área calculada, conforme a las reglas fundamentales del cálculo integral.

Por defecto: a = 0, b = 3.14159
Número de subintervalos de partición (n)entero positivo par o múltiplo de 3

Número total de subdivisiones uniformes en las que se divide el intervalo. La regla de Simpson 1/3 exige estrictamente un número par de particiones (n >= 2, divisible entre 2) para emparejar paneles contiguos. La regla de Simpson 3/8 requiere particiones divisibles entre 3 (n >= 3). El modo híbrido admite de forma fluida cualquier valor n >= 3.

Por defecto: 6
Tolerancia de error admisible (épsilon)umbral real positivo

Error absoluto máximo de truncamiento numérico admisible para el refinamiento automático de la malla. Los algoritmos evalúan el criterio de la cuarta derivada |E_n| <= ((b - a)^5 * M_4) / (180 * n^4) para determinar el número mínimo de particiones necesario que garantice la precisión dentro de los límites prácticos de punto flotante (>= 1e-12).

Por defecto: 0.0001
Unidad angular trigonométricaunidad de medida angular

Sistema de evaluación para funciones periódicas y ondulatorias. La integración definida y las series de Taylor exigen fundamentalmente el modo radianes; el modo grados sexagesimales convierte los valores multiplicándolos por pi/180 antes de calcular las ordenadas de la función.

Por defecto: radianes

Consejos profesionales y mejores prácticas

Anomalía en el grado de precisión de polinomios cúbicos

Aunque la regla de Simpson 1/3 interpola puntos mediante parábolas cuadráticas (grado 2), integra cualquier polinomio cúbico de tercer grado (ax^3 + bx^2 + cx + d) con error de truncamiento nulo. Esto sucede porque la simetría de orden impar de la fórmula de Newton-Cotes de tres puntos anula por completo el término del error asociado a la tercera derivada, haciendo que el primer término de error activo dependa de la cuarta derivada f''''(xi).

Ajuste de subintervalos impares mediante hibridación 1/3 y 3/8

Cuando los datos experimentales presentan un número impar de subintervalos (por ejemplo, n = 7), nunca degrade el cálculo recurriendo a la regla del trapecio de segundo orden. Aplique la regla de Simpson 1/3 en los primeros n - 3 paneles (una partición par) y resuelva los 3 paneles restantes con la regla de Simpson 3/8, preservando así una convergencia uniforme de cuarto orden O(h^4) en todo el dominio.

Prevención del fenómeno de Runge mediante subdivisiones compuestas

Intentar una interpolación polinómica de alto orden sobre intervalos amplios genera divergencias severas en los extremos, lo que se conoce como el fenómeno de Runge. La cuadratura compuesta de Simpson suprime esta inestabilidad al confinar curvas cuadráticas de bajo orden a pequeños paneles localizados de ancho 2h, reduciendo el error global a una tasa de O(h^4).

Resolución de singularidades de frontera mediante cambio de variable

Los integrandos con pendiente infinita o singularidades en los límites (como 1 / sqrt(x) en x = 0) hacen que las cotas de error de la cuarta derivada diverjan al infinito. Solucione esto antes del cálculo aplicando un cambio algebraico de variables (haciendo x = u^2, por lo que dx = 2u du) para transformar el integrando en una función suave y analíticamente dócil.

Problemas comunes y soluciones

⚠️El número de subintervalos n debe ser un entero par para la regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 construye curvas parabólicas sobre pares de dos paneles, lo que requiere un número par de subintervalos (n) y un número impar de ordenadas o puntos nodales (n + 1). Incremente n en 1 para que sea par, o cambie el modo de cuadratura a «Híbrido 1/3 + 3/8» para procesar particiones impares sin pérdida de precisión.

⚠️La aproximación numérica trigonométrica diverge significativamente del valor analítico esperado

La expresión trigonométrica se evaluó en modo grados sexagesimales (Degrees), mientras que la derivación analítica del cálculo asume radianes. La derivación numérica y las expansiones en series de Taylor exigen unidades en radianes; cambie el selector de unidad angular a «Radianes» para restablecer la precisión.

⚠️El cálculo inverso del error devuelve NaN o un número excesivo de subintervalos requeridos

Ocurre cuando la cuarta derivada f''''(x) tiene una asíntota vertical local o cuando la tolerancia épsilon definida es más estricta que los límites de doble precisión IEEE 754 (~1e-15). Asegúrese de que el integrando sea cuatro veces diferenciable de forma continua en [a, b] y fije épsilon >= 1e-12.

⚠️Incremento drástico del error al integrar funciones periódicas de alta frecuencia

Si el tamaño del paso h = (b - a) / n supera la mitad de la longitud de onda de oscilación (h > lambda / 2), se produce solapamiento espacial (aliasing) y los arcos parabólicos omiten los picos de la onda. Aumente n de modo que los subintervalos satisfagan el criterio de muestreo de Nyquist-Shannon: n > 2 * (b - a) * f_max.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cuál es la fórmula de la regla de Simpson 1/3?▼

La fórmula compuesta de la regla de Simpson 1/3 es S = (h / 3) * [f(x_0) + 4 * Sum(f(x_impar)) + 2 * Sum(f(x_par)) + f(x_n)], donde h = (b - a) / n y n es un entero par. Calcula la integral definida ajustando parábolas cuadráticas a trozos a través de conjuntos de tres puntos consecutivos a lo largo de todo el dominio.

¿Cuál es la diferencia entre la regla de Simpson 1/3 y la regla de Simpson 3/8?▼

La regla de Simpson 1/3 ajusta parábolas cuadráticas de segundo grado sobre pares de 2 intervalos (exigiendo que n sea múltiplo de 2) con ponderaciones [1, 4, 2, 4, ..., 1] multiplicadas por h/3. La regla de Simpson 3/8 ajusta polinomios cúbicos de tercer grado sobre grupos de 3 intervalos (requiriendo que n sea múltiplo de 3) con ponderaciones [1, 3, 3, 2, 3, 3, ..., 1] multiplicadas por 3h/8. Ambas comparten una precisión de cuarto orden O(h^4), pero la regla 3/8 permite particionar exactamente conjuntos de datos con múltiplos de tres intervalos.

¿Por qué la regla de Simpson 1/3 requiere un número par de intervalos?▼

La regla de Simpson 1/3 requiere un número par de intervalos porque cada aproximación parabólica necesita tres nodos de evaluación consecutivos que cubren dos subintervalos adyacentes (un ancho de 2h). Para encadenar m parábolas consecutivas en [a, b], se necesitan exactamente n = 2m subintervalos (un número entero par) y un total de n + 1 puntos de evaluación.

¿Cómo se calcula la cota de error de la regla de Simpson?▼

La cota de error de truncamiento para la regla compuesta de Simpson 1/3 es |E_s| <= ((b - a)^5 / (180 * n^4)) * max|f''''(x)| en el intervalo [a, b]. Para la regla de Simpson 3/8, la cota es |E_3/8| <= ((b - a)^5 / (80 * n^4)) * max|f''''(x)|. Si f(x) es cualquier polinomio de grado 3 o menor, su cuarta derivada es cero, produciendo un resultado numérico exacto sin error de truncamiento.

¿Es la regla de Simpson más precisa que la regla del trapecio?▼

Sí, la regla de Simpson es notablemente más precisa para funciones suaves, ya que su error disminuye a un orden de convergencia de cuarto grado O(h^4) = O(1/n^4), mientras que el error de la regla del trapecio disminuye a segundo orden O(h^2) = O(1/n^2). Duplicar el número de subintervalos (n -> 2n) reduce el error del trapecio por un factor de 4, pero disminuye el error de Simpson por un factor de 16.

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