Simpsonregel Rechner (1/3 & 3/8)

Simpsonregel Rechner (1/3 & 3/8)

Berechnen Sie bestimmte Integrale präzise mit der Simpsonregel (1/3 & 3/8). Inklusive zusammengesetzter Formeln, Fehlerschranken, Stützstellengitter und Funktionsgraphen.

Presets:
Quadrature Parameters & Integrand
Variable: x
Quick test:

Supports powers (^), polynomials, exp, sqrt, sin, cos, ln, and constants (pi, e).

6 Panels
Step Size h = (b - a) / n: 0.166677 Evaluation Nodes
Target Tolerance Reverse Solver

Find the exact minimum number of subintervals (n) required to guarantee your desired precision.

Minimum Required Subintervals (n)4
Maximum Allowable Panel Width (h)0.25
Fourth Derivative Ceiling |f⁴(x)|: 1.197Guaranteed Truncation Bound: 2.5973e-5
Definite Integral Approximation0.341347Simpson's 1/3 Rule
Theoretical Error Bound |E|5.1304e-6O(h⁴) Truncation Ceiling
Richardson High-Precision Benchmark0.341345N=512 Extrapolated
Uniform Step Size (h)0.16667n = 6 Subintervals
Parabolic Osculating Curve Visualizer
Exact Function f(x)
Piecewise Simpson Parabolas
Evaluation Ordinates (xi, yi)
Quadrature Residual Area
a = 0b = 1

Quadrature Execution Summary

Definite integral evaluation calculated via composite Newton-Cotes parabolic interpolation.

Applied Quadrature Formulation:Simpson's 1/3 Rule (Parabolic)
Total Subinterval Panels:6 panels
Total Evaluation Ordinates (n + 1):7 nodes
Panel Interval Width (h):0.166667
Algebraic Degree of Precision:Degree 3 (Exact for cubics & quadratics)
Richardson Benchmark Value:0.3413447
Absolute Error Deviation:2.0953e-6
Theoretical Convergence Order:O(h⁴) Quartic Convergence
Analytical Note: Because Simpson's 1/3 rule fits a symmetric second-degree parabola over pairs of panels, odd third-degree polynomial terms cancel out entirely, providing exact zero-truncation precision for any cubic curve ax³ + bx² + cx + d!
Current Integral0.341347
Error Ceiling5.1304e-6
Local Execution< 1 ms (Zero Float Drift)

Empathetic notice: Numerical quadratures approximate real-world curves by fitting smooth arches. Ensure your function has no infinite singularities within the boundaries for peak mathematical fidelity.

Clientseitige Verarbeitung

Hochleistungsberechnung, vollständig im Arbeitsspeicher Ihres Browsers ausgeführt.

Datenschutz ohne Server-Upload

Alle Daten verbleiben strikt lokal – ohne jegliche externe Serverkommunikation.

Produktionsreifer Export

Saubere, optimierte Ausgabeformate, bereit zur sofortigen Weiterverwendung.

ToolsAA•100% Client-seitige private Web-Dienstprogramme
Technische Referenz & Architektur-Leitfaden

Simpsonregel-Rechner (1/3 & 3/8) — Referenzhandbuch

Bestimmte Integrale mit der Simpsonregel (1/3 und 3/8) präzise berechnen. Inklusive Schritt-für-Schritt-Quadraturformeln, Fehlerschranken, Intervallzerlegung und Funktionsgraphen.

Simpsonregel-Rechner (1/3 & 3/8) — Referenzhandbuch — Client-seitige In-Memory-Architektur und Datenfluss
Simpsonregel-Rechner (1/3 & 3/8) — Referenzhandbuch — Client-seitige In-Memory-Architektur und Datenfluss

Wichtige Parameter & Einstellungen

Stetige Integrandenfunktion f(x)Algebraischer oder transzendenter Ausdruck

Stetige Funktionskurve oder physikalische Ratengleichung über dem abgeschlossenen Integrationsintervall [a, b]. Um numerische Konvergenz und zuverlässige Fehlerabschätzungen zu gewährleisten, muss die Funktion reellwertig und endlich sein sowie frei von Polstellen (Division durch Null), vertikalen Asymptoten oder unendlichen Oszillationen bleiben.

Standard: x * sin(x)
Bestimmte Integrationsgrenzen [a, b]Endliche reelle Koordinaten

Untere Integrationsgrenze (a) und obere Integrationsgrenze (b) des Integrationsintervalls. Ein Vertauschen der Grenzen (a > b) kehrt gemäß den Vorzeichenregeln der Integralrechnung die Integrationsrichtung um und negiert den berechneten Flächeninhalt.

Standard: a = 0, b = 3.14159
Anzahl der Teilintervalle (n)Positive gerade oder durch 3 teilbare ganze Zahl

Gesamtzahl der äquidistanten Teilintervalle, in die das Intervall unterteilt wird. Die Simpson-1/3-Regel erfordert zwingend eine gerade Intervallanzahl (n >= 2, gerade), um benachbarte Intervallpaare zu verknüpfen. Die Simpson-3/8-Regel setzt eine durch 3 teilbare Anzahl voraus (n >= 3). Der Hybridmodus verarbeitet jede Intervallzahl n >= 3 nahtlos.

Standard: 6
Ziel-Fehlertoleranz (Epsilon)Positiver reeller Schwellenwert

Maximal zulässiger absoluter numerischer Diskretisierungsfehler für die automatische Schrittweitensteuerung. Der Algorithmus wertet das Kriterium der vierten Ableitung |E_n| <= ((b - a)^5 * M_4) / (180 * n^4) aus, um die minimale Intervallanzahl zu ermitteln, die für die geforderte Genauigkeit innerhalb praktischer Fließkommagrenzen (>= 1e-12) nötig ist.

Standard: 0.0001
Trigonometrisches WinkelmaßWinkeleinheit

Berechnungsgrundlage für periodische Wellen- und Schwingungsfunktionen. Bestimmte Integrale und Taylor-Reihenentwicklungen setzen zwingend das Bogenmaß (Radiant) voraus. Der Gradmaß-Modus konvertiert Eingabewerte vor der Funktionsauswertung durch Multiplikation mit pi/180.

Standard: Radiant

Profi-Tipps & Best Practices

Präzisionsanomalie bei kubischen Polynomen

Obwohl die Simpson-1/3-Regel Stützstellen mit quadratischen Parabeln (Grad 2) interpoliert, integriert sie alle kubischen Polynome 3. Grades (ax^3 + bx^2 + cx + d) exakt ohne Diskretisierungsfehler. Dies liegt an der punktsymmetrischen Anordnung der 3-Punkt-Newton-Cotes-Formel, wodurch sich das führende Fehlerglied dritter Ordnung vollständig aufhebt und das erste verbleibende Fehlerglied erst von der vierten Ableitung f''''(xi) abhängt.

Ungerade Teilintervalle per 1/3- und 3/8-Hybridisierung

Wenn Messdaten oder Gitter eine ungerade Anzahl an Teilintervallen aufweisen (z. B. n = 7), sollte keinesfalls auf die ungenauere Trapezregel 2. Ordnung zurückgegriffen werden. Wenden Sie die Simpson-1/3-Regel auf die ersten n - 3 Intervalle an (eine gerade Teilung) und integrieren Sie die verbleibenden 3 Intervalle mit der Simpson-3/8-Regel. So bleibt die Konvergenzordnung vier O(h^4) über das gesamte Intervall konsistent erhalten.

Vermeidung des Runge-Phänomens durch summierte Formeln

Eine globale Polynominterpolation hohen Grades über breite Intervalle führt an den Rändern zu extremen Oszillationen (Runge-Phänomen). Die zusammengesetzte (summierte) Simpson-Quadratur eliminiert diese Instabilität, indem sie niedergradige quadratische Parabeln auf kleine, lokale Teilsegmente der Breite 2h beschränkt und den Gesamtfehler mit der Rate O(h^4) minimiert.

Beseitigung von Randsingularitäten durch Variablensubstitution

Integranden mit unendlicher Steigung oder Singularitäten an den Intervallgrenzen (wie 1 / sqrt(x) bei x = 0) führen zur Divergenz der Schranke der vierten Ableitung. Lösen Sie dies vor der numerischen Integration durch eine algebraische Substitution (z. B. x = u^2, somit dx = 2u du), um den Integranden in eine glatte, stetig differenzierbare Funktion zu transformieren.

Häufige Fehlerquellen & Fehlerbehebung

⚠️Intervallanzahl n muss für die Simpson-1/3-Regel eine gerade Zahl sein

Die Simpson-1/3-Regel interpoliert Parabeln über jeweils zwei benachbarte Teilintervalle und verlangt daher eine gerade Anzahl an Intervallen (n) bzw. eine ungerade Anzahl an Stützstellen (n + 1). Erhöhen Sie n um 1 auf den nächsten geraden Wert oder wechseln Sie in den Quadraturmodus 'Hybrid 1/3 + 3/8', um ungerade Intervallzahlen ohne Genauigkeitsverlust zu berechnen.

⚠️Numerische trigonometrische Näherung weicht stark vom analytischen Wert ab

Der trigonometrische Ausdruck wurde im Gradmaß (Degrees) ausgewertet, während die analytische Integralrechnung das Bogenmaß (Radiant) zugrunde legt. Numerische Differentiation und Taylor-Reihen erfordern das Bogenmaß; stellen Sie die Winkeleinheit im Rechner auf 'Radiant' um.

⚠️Rückwärtsrechnung zur Fehlerabschätzung liefert NaN oder extrem hohes n

Tritt auf, wenn die vierte Ableitung f''''(x) im Intervall eine Polstelle besitzt oder die geforderte Toleranz Epsilon jenseits der Maschinengenauigkeit nach IEEE 754 (Double-Precision ca. 1e-15) liegt. Stellen Sie sicher, dass der Integrand auf [a, b] viermal stetig differenzierbar ist, und wählen Sie Epsilon >= 1e-12.

⚠️Hoher Integrationsfehler bei hochfrequenten periodischen Funktionen

Wenn die Schrittweite h = (b - a) / n größer als die halbe Wellenlänge der Oszillation ist (h > lambda / 2), entsteht ein Alias-Effekt (Aliasing), wodurch Parabelbögen die Wellenberge und -täler verfehlen. Vergrößern Sie n so, dass das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem erfüllt ist: n > 2 * (b - a) * f_max.

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Wie lautet die Formel für die Simpson-1/3-Regel?▼

Die summierte (zusammengesetzte) Simpson-1/3-Formel lautet S = (h / 3) * [f(x_0) + 4 * Summe(f(x_ungerade)) + 2 * Summe(f(x_gerade)) + f(x_n)], wobei h = (b - a) / n die Schrittweite ist und n eine gerade ganze Zahl sein muss. Sie approximiert das bestimmte Integral, indem sie abschnittsweise quadratische Parabeln durch jeweils drei aufeinanderfolgende Stützstellen legt.

Was ist der Unterschied zwischen der Simpson-1/3-Regel und der Simpson-3/8-Regel?▼

Die Simpson-1/3-Regel passt quadratische Parabeln (Grad 2) über Paare von 2 Teilintervallen an (erfordert ein gerades n) mit den Gewichten [1, 4, 2, 4, ..., 1] multipliziert mit h/3. Die Simpson-3/8-Regel (auch Pulverfassregel) legt kubische Polynome (Grad 3) über Gruppen von 3 Teilintervallen (erfordert ein durch 3 teilbares n) mit den Gewichten [1, 3, 3, 2, 3, 3, ..., 1] multipliziert mit 3h/8. Beide besitzen dieselbe Konvergenzordnung O(h^4), doch die 3/8-Regel ermöglicht eine exakte Zerlegung für durch 3 teilbare Datensätze.

Warum erfordert die Simpson-1/3-Regel eine gerade Anzahl an Teilintervallen?▼

Die Simpson-1/3-Regel benötigt eine gerade Anzahl an Teilintervallen, da jede einzelne Parabelapproximation drei aufeinanderfolgende Stützpunkte über zwei benachbarte Teilintervalle (Breite 2h) verbindet. Um eine Kette von m Parabeln über [a, b] lückenlos zu spannen, sind exakt n = 2m Teilintervalle (somit stets eine gerade Zahl) und n + 1 Stützstellen erforderlich.

Wie wird die Fehlerschranke der Simpsonregel berechnet?▼

Die Restglied-Fehlerschranke der summierten Simpson-1/3-Regel lautet |E_s| <= ((b - a)^5 / (180 * n^4)) * max|f''''(x)| auf dem Intervall [a, b]. Für die Simpson-3/8-Regel beträgt die Schranke |E_3/8| <= ((b - a)^5 / (80 * n^4)) * max|f''''(x)|. Ist f(x) ein Polynom bis maximal 3. Grades, so ist die vierte Ableitung identisch null, womit das Näherungsverfahren das Integral ohne Diskretisierungsfehler exakt berechnet.

Ist die Simpsonregel genauer als die Trapezregel?▼

Ja, für hinreichend glatte Funktionen ist die Simpsonregel wesentlich genauer, da ihr Diskretisierungsfehler mit der vierten Ordnung O(h^4) = O(1/n^4) abnimmt, während der Fehler der Trapezregel nur mit der zweiten Ordnung O(h^2) = O(1/n^2) sinkt. Eine Verdopplung der Teilintervalle (n -> 2n) viertelt den Fehler der Trapezregel (Faktor 4), reduziert den Fehler der Simpsonregel jedoch um den Faktor 16.

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