Wie berechnet man die Stichprobengröße mit der Cochran-Formel?

Die Cochran-Formel lautet n0 = (Z^2 * p * (1 - p)) / E^2. Hierbei steht Z für den kritischen Wert der Standardnormalverteilung (1,96 bei 95 % Konfidenz), p für den geschätzten Merkmalsträgeranteil in der Population (0,5 für maximale Varianz) und E für die Fehlerspanne in Dezimalform (0,05 für ±5 %). Für eine unendliche Grundgesamtheit bei 95 % Konfidenzniveau und 5 % Fehlerspanne ergibt sich n0 = (1,96^2 * 0,5 * 0,5) / (0,05^2) = 384,16 – kaufmännisch aufgerundet exakt 385 Probanden.

Welche Fehlerspanne ist für eine Umfrage angemessen?

Eine Fehlerspanne zwischen ±3 % und ±5 % bei einem Konfidenzniveau von 95 % ist der wissenschaftliche Standard für repräsentative Umfragen, Wahlforschung und Marktforschungsstudien. In der klinischen Forschung oder bei regulatorischen Prüfungen werden meist engere Grenzen von ±1 % bis ±2 % gefordert. Für erste explorative Trendabfragen oder interne Unternehmenspulse reichen oft Fehlerspannen bis zu ±8 %, um Rekrutierungskosten gering zu halten.

Was ist der Unterschied zwischen Konfidenzniveau und Fehlerspanne?

Das Konfidenzniveau beziffert die statistische Zuverlässigkeit, mit der wiederholte Stichproben das wahre Populationsmerkmal abbilden (standardmäßig 95 %). Die Fehlerspanne beschreibt den Toleranzradius um den ermittelten Stichprobenwert (z. B. ±3 %). Liegt die gemessene Kundenzufriedenheit bei 60 % mit einer Fehlerspanne von ±3 % bei 95 % Konfidenz, läge der wahre Mittelwert bei 95 von 100 identisch durchgeführten Erhebungen zwischen 57 % und 63 %.

Wann sollte die Endlichkeitskorrektur angewendet werden?

Die Endlichkeitskorrektur (Finite Population Correction, FPC) ist erforderlich, sobald die ermittelte Basistichprobe n0 mehr als 5 % der gesamten Grundgesamtheit N ausmacht (n0 / N > 0,05). Die korrigierte Stichprobe berechnet sich als n = n0 / (1 + (n0 - 1) / N). Bei einer Befragung von 1.000 Mitarbeitern (95 % Konfidenz, 5 % Fehlerspanne) reduziert sich die Stichprobe dank FPC von 385 auf 278, was 107 Befragungen ohne Präzisionsverlust einspart.

Wie wirkt sich die Ausfallquote auf die nötige Stichprobengröße aus?

Die durch Formeln berechnete Stichprobengröße entspricht den benötigten vollständigen Datensätzen (Nettostichprobe). Um diese bei einer erwarteten Non-Response-Rate r tatsächlich zu erreichen, muss die Brutto-Versandmenge über n_brutto = ceil(n / (1 - r)) kalkuliert werden. Werden beispielsweise 400 verwertbare Fragebögen bei einer erwarteten Rücklaufquote von 25 % (75 % Ausfallquote) benötigt, müssen mindestens 400 / (1 - 0,75) = 1.600 Personen kontaktiert werden.

Stufe•Cochran-Standard (p = 0,5)

Stichprobenrechner & Fehlerspanne

Berechnen Sie die statistische Stichprobengröße und Fehlerspanne für Umfragen oder A/B-Tests mit Cochran-Formel, Endlichkeitskorrektur und Konfidenzintervallen.

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Eingabe & Steuerungskonsole

Einstichproben-Anteilstest

Berechnungsmodus

Testrichtungα/2 rejection tails

KonfidenzniveauZ = 1.96

Fehlerspanne (±)

±5.0%

±0.5% (Hohe Präzision (±1 %))±3.0% (Gallup-Standard)±5.0% (Standardpräzision (±5 %))±10.0%

Erwarteter Anteilswert (p)50%

10% (Geringer Anteil (p = 0,1))90% (Maximale Streuung (p = 0,5))

Grundgesamtheit (N)Unendliche Grundgesamtheit

Design-Effekt (DEFF)1.0x

Einfache Zufallsstichprobe (SRS)Moderate Klumpung (DEFF = 1,5)Hohe Klumpung (DEFF = 2,0)

Ausfallquote (Non-Response-Rate)20%

Ausfallquote: Erwarteter Anteil an Verweigerungen oder Abbrüchen, der vorab auf die Bruttostichprobe aufgeschlagen werden muss.

Erforderliche Nettostichprobe (n)

385

Vollständig auswertbare Datensätze

95% Konfidenz

Bruttostichprobe

482

Erforderliche Kontakte inkl. Ausfall

20% Ausfallquote

Standardfehler (SE)

2.55%

Streuung der Stichprobenverteilung

σ/√n

Unendliche Grundgesamtheit

∞

Unendliche Grundgesamtheit (N → ∞)

Cochran-Basisformel

Kurve des abnehmenden Grenzertrags

Optimaler Bereich

Abnehmender Grenznutzen: Ab einer bestimmten Stichprobengröße sinkt die Fehlerspanne nur noch minimal trotz deutlich höherem Erhebungsaufwand.

Normalverteilung (Gauß-Kurve)

Konfidenzbereich: 95% (two-tailed)

Mathematische Herleitung

Schritt 1: Unkorrigierte Stichprobe (n₀)n₀ = (Z² · p · (1-p) · DEff) / E²= (1.96² · 0.50 · 0.50 ) / 0.0500² = 385

Schritt 2: Endlichkeitskorrektur (FPC)n = n₀ / [1 + (n₀ - 1) / N]Keine Endlichkeitskorrektur erforderlich

Intervallvergleich

Wald-Konfidenzintervall [45.0%, 55.0%]Wilson-Score-Intervall [45.03%, 54.97%]

Cochran-Formel & FPCBerechnet den optimalen Stichprobenumfang nach Cochran inklusive automatischer Endlichkeitskorrektur (FPC) für begrenzte Populationen.

DSGVO-konform & Lokal100 % clientseitige Berechnung im Browser. Keine Speicherung oder Übertragung sensibler Geschäftsdaten auf externe Server.

Auditfähiger Export (PDF & CSV)Exportieren Sie vollständige Stichprobenpläne und statistische Kennzahlen als PDF-Prüfbericht oder CSV-Tabelle.

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Kein Server-Upload

Sämtliche Eingabedaten verbleiben lokal auf Ihrem Gerät – null externe Datenübertragung.

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Strukturierte und bereinigte Ausgabeformate für unmittelbare Berichte und Analysen.

Methodischer Hinweis & Limitationen

Die Berechnungen basieren auf Standardformeln der deskriptiven und induktiven Statistik (u. a. Cochran-Verfahren). Bei mehrstufigen Stichproben oder Klumpenverfahren sind Designeffekte und Non-Response-Quoten zu berücksichtigen.