Wie berechnet man kartesische Koordinaten (x, y) aus Polarkoordinaten (r, θ)?

Kartesische Koordinaten werden ermittelt, indem der Radialabstand mit dem Kosinus bzw. Sinus des Winkels multipliziert wird: x = r · cos(θ) und y = r · sin(θ). Beispiel: Ein Punkt mit Radius r = 4 und Winkel θ = 60° ergibt x = 4 · cos(60°) = 4 · 0,5 = 2 sowie y = 4 · sin(60°) = 4 · 0,8660 ≈ 3,4641. Prüfen Sie vor der Berechnung stets, ob Ihr Eingabewinkel in Grad (DEG) oder Bogenmaß / Radiant (RAD) vorliegt.

Was bedeutet ein negativer Radius bei Polarkoordinaten?

Ein negativer Radius r < 0 spiegelt den Koordinatenpunkt um 180° durch den Ursprung entlang der Gegenrichtung des Winkels θ. Die Grundformeln x = r · cos(θ) und y = r · sin(θ) berücksichtigen diese Inversion algebraisch, da cos(θ + 180°) = -cos(θ) und sin(θ + 180°) = -sin(θ) gilt. So führt beispielsweise (-5, 45°) zu x ≈ -3,5355 und y ≈ -3,5355, was der standardmäßigen positiven Darstellung (5, 225°) in Quadrant III entspricht.

Worin liegt der Unterschied zwischen Kompasspeilung und Polarwinkel?

Kompasspeilungen (Azimut) beginnen bei 000° an geografisch Nord (vertikale y-Achse) und laufen im Uhrzeigersinn, während mathematische Polarwinkel bei 0° auf der positiven horizontalen x-Achse beginnen und gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiv) verlaufen. Zur Umrechnung einer Kompasspeilung in einen mathematischen Winkel gilt θ_math = (90° - θ_peilung + 360°) mod 360°, oder direkt: x = r · sin(θ_peilung) für den Ostwert (Easting) und y = r · cos(θ_peilung) für den Nordwert (Northing).

Wie rechnet man kartesische Koordinaten (x, y) zurück in Polarkoordinaten (r, θ)?

Der Radius wird über den Satz des Pythagoras berechnet: r = √(x² + y²). Der Winkel θ ergibt sich am zuverlässigsten über die quadrantenabhängige Funktion atan2(y, x). Bei manueller Berechnung mit dem einfachen Arkustangens arctan(y/x) müssen bei negativem x 180° addiert werden; ist x positiv und y negativ, addiert man 360°, damit der resultierende Richtungswinkel korrekt im Intervall zwischen 0° und 360° liegt.

Welche exakten Wurzelwerte gelten für typische Winkel am Einheitskreis?

Auf dem Einheitskreis mit Radius r = 1 ergeben gängige Referenzwinkel exakte Wurzelbrüche: 30° entspricht (√3/2, 1/2), 45° entspricht (√2/2, √2/2), 60° entspricht (1/2, √3/2), 90° ist (0, 1), 180° ist (-1, 0) und 270° ist (0, -1). Ist der Radius größer als 1, multiplizieren Sie beide Koordinaten mit r – bei einem Radius von r = 6 und 30° ergibt sich beispielsweise (3√3, 3).

Wie wandelt man zylindrische und sphärische 3D-Koordinaten in kartesische (x, y, z) um?

Bei zylindrischen 3D-Koordinaten (r, θ, z) bleibt die Höhe z unverändert, während x = r · cos(θ) und y = r · sin(θ) berechnet werden. Bei Kugelkoordinaten (sphärische Koordinaten nach ISO-Physik-Konvention mit Radius ρ, Azimut θ in der Ebene und Neigungswinkel φ von der z-Achse) lauten die Transformationsgleichungen: x = ρ · sin(φ) · cos(θ), y = ρ · sin(φ) · sin(θ) und z = ρ · cos(φ).

Polarkoordinaten-Rechner (r,θ & x,y)

Q: Worin liegt der Unterschied zwischen Kompasspeilung und Polarwinkel?

Kompasspeilungen (Azimut) beginnen bei 000° an geografisch Nord (vertikale y-Achse) und laufen im Uhrzeigersinn, während mathematische Polarwinkel bei 0° auf der positiven horizontalen x-Achse beginnen und gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiv) verlaufen. Zur Umrechnung einer Kompasspeilung in einen mathematischen Winkel gilt θ_math = (90° - θ_peilung + 360°) mod 360°, oder direkt: x = r · sin(θ_peilung) für den Ostwert (Easting) und y = r · cos(θ_peilung) für den Nordwert (Northing).

Q: Wie rechnet man kartesische Koordinaten (x, y) zurück in Polarkoordinaten (r, θ)?

Der Radius wird über den Satz des Pythagoras berechnet: r = √(x² + y²). Der Winkel θ ergibt sich am zuverlässigsten über die quadrantenabhängige Funktion atan2(y, x). Bei manueller Berechnung mit dem einfachen Arkustangens arctan(y/x) müssen bei negativem x 180° addiert werden; ist x positiv und y negativ, addiert man 360°, damit der resultierende Richtungswinkel korrekt im Intervall zwischen 0° und 360° liegt.

Q: Welche exakten Wurzelwerte gelten für typische Winkel am Einheitskreis?

Auf dem Einheitskreis mit Radius r = 1 ergeben gängige Referenzwinkel exakte Wurzelbrüche: 30° entspricht (√3/2, 1/2), 45° entspricht (√2/2, √2/2), 60° entspricht (1/2, √3/2), 90° ist (0, 1), 180° ist (-1, 0) und 270° ist (0, -1). Ist der Radius größer als 1, multiplizieren Sie beide Koordinaten mit r – bei einem Radius von r = 6 und 30° ergibt sich beispielsweise (3√3, 3).

Q: Wie wandelt man zylindrische und sphärische 3D-Koordinaten in kartesische (x, y, z) um?

Bei zylindrischen 3D-Koordinaten (r, θ, z) bleibt die Höhe z unverändert, während x = r · cos(θ) und y = r · sin(θ) berechnet werden. Bei Kugelkoordinaten (sphärische Koordinaten nach ISO-Physik-Konvention mit Radius ρ, Azimut θ in der Ebene und Neigungswinkel φ von der z-Achse) lauten die Transformationsgleichungen: x = ρ · sin(φ) · cos(θ), y = ρ · sin(φ) · sin(θ) und z = ρ · cos(φ).

Polarkoordinaten (r, θ) in kartesische Koordinaten (x, y) umrechnen – mit interaktiver 2D-Vektorleinwand, exakter Wurzeldarstellung, 3D-Kugelkoordinaten und sofortiger Rückrechnung.

Schnell-Voreinstellungen

Winkeleinheit

Winkelkonvention

Genauigkeit (Dezimalstellen)

Nullpunktverschiebung aktivieren

Polarkoordinaten (r, θ)

Radius r10

Winkel (θ)45°

Tipp: Punkte im Koordinatensystem ziehen, um Werte live anzupassen.

Quadranten-Status Quadrant I (+x, +y)|r| = 10.000000

Berechnete Koordinaten

Cartesian X

7.071068

Cartesian Y

7.071068

Radial Magnitude

10.000000

Exakte Wurzeldarstellung

(5√2, 5√2)

Exakte Wurzelausdrücke (z. B. √2, √3) werden für Standardwinkel automatisch ermittelt.

Kartesische Steigung (m)1.000000

Normalisierter Winkel (°)45.00°

Code-Export

# Python 3 Polar to Cartesian
import math

r = 10
theta_deg = 45
theta_rad = math.radians(theta_deg)

x = r * math.cos(theta_rad)
y = r * math.sin(theta_rad)
print(f"X: {x:.6f}, Y: {y:.6f}")

100 % lokal (keine Serveranfragen)IEEE 754 Clamped

Analytische Herleitung

Schritt	Formel	Einsetzung	Ergebnis
Winkel normalisieren (θ)	θ_norm = ((θ % 360) + 360) % 360	(45° % 360)	45.00°
x-Koordinate berechnen: x = r · cos(θ)	x = r · cos(θ)	10 · 0.707107	7.071068
y-Koordinate berechnen: y = r · sin(θ)	y = r · sin(θ)	10 · 0.707107	7.071068
Exakte geschlossene Form	Abgleich mit dem Einheitskreis	Exakter Bruchwert (rational)	(5√2, 5√2)
Tangentensteigung berechnen (dy/dx)	Formel für dy/dx	Ableitung dx/dθ -7.0711, Ableitung dy/dθ 7.0711	m = 1.000000

100 % Exakt

Symbolische Wurzel- und Bruchdarstellung ohne Rundungsverlust

2D & 3D

Unterstützt Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten

Echtzeit

Interaktive Vektoranalyse und CSV-Stapelverarbeitung

Polarkoordinaten Rechner (r,θ & x,y)

Wandeln Sie 2D-Polarkoordinaten und 3D-Raumkoordinaten präzise in kartesische Werte um, inklusive exakter Wurzel- und Bruchwerte, Einheitskreis-Abgleich und interaktiver Visualisierung.

Clientseitige Verarbeitung

Hochleistungsberechnung direkt und vollständig im Browser-Speicher.

Kein Server-Upload

Alle Nutzdaten bleiben strikt lokal – ohne jegliche externe Serverkommunikation.

Produktionsreifer Export

Saubere, optimierte Ausgabeformate für den direkten Einsatz.

Polarkoordinaten-Rechner (r,θ & x,y)

Analytische Herleitung

Polarkoordinaten Rechner (r,θ & x,y)

Clientseitige Verarbeitung

Kein Server-Upload

Produktionsreifer Export

Polarkoordinaten-Umrechner (r,θ & x,y) — Referenzhandbuch

Wichtige Parameter & Einstellungen

Profi-Tipps & Best Practices

Häufige Fehlerquellen & Fehlerbehebung

⚠️Ein negativer Radius platziert den Punkt unerwartet im gegenüberliegenden Quadranten

⚠️Steigung dy/dx wird bei 90° und 270° als undefiniert oder unendlich angezeigt

⚠️Massenimportierte Koordinatendaten trennen Horizontal- und Vertikalwerte nicht

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Verwandte Tools & Hilfsprogramme