Euklidischer InnenwinkelsummensatzGeometrische Invariante [A + B + C = 180° / π rad]
In der ebenen euklidischen Geometrie beträgt die Summe aller drei Innenwinkel in jedem nicht-entarteten Dreieck exakt 180 Grad (π Radiant bzw. 200 Neugrad/Gon). Sind zwei Winkel bekannt, ergibt sich der dritte eindeutig aus 180° − (A + B). Im Holzbau, bei Dachstuhlkontruktionen und in der Vermessungstechnik dient diese Invariante als grundlegende Plausibilitätsprüfung gegen Fluchtungsfehler und Bauwerksverzerrungen.
Standard: 180° (π Radiant)
Kosinussatz (Verallgemeinerter Satz des Pythagoras)Trigonometrische Invariante [c² = a² + b² − 2ab · cos(C)]
Erweitert den Satz des Pythagoras auf beliebige Dreiecke und setzt eine Seitenlänge in Beziehung zum Kosinus des gegenüberliegenden Winkels: c² = a² + b² − 2ab · cos(C). Er löst Konfigurationen nach dem Kongruenzsatz Seite-Winkel-Seite (SWS) zur Bestimmung fehlender Kantenlängen sowie Seite-Seite-Seite (SSS) über cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab). Da der Arcuskosinus eindeutig im Intervall von 0° bis 180° definiert ist, unterscheidet er zuverlässig zwischen spitzen und stumpfen Winkeln ohne Quadranten-Mehrdeutigkeit.
Standard: c² = a² + b² − 2ab · cos(C)
Sinussatz (Verhältnisinvariante)Verhältnisinvariante [a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R]
Besagt, dass das Verhältnis zwischen einer Seitenlänge und dem Sinus des gegenüberliegenden Innenwinkels an allen drei Ecken konstant ist und exakt dem doppelten Umkreisradius (2R) entspricht. Dieser proportionale Zusammenhang ist das mathematische Fundament zur Berechnung von Dreiecken nach den Kongruenzsätzen WSW (Winkel-Seite-Winkel) und SWW in der Ingenieurvermessung, Flurstücksteilung und Geodäsie.
Standard: a / sin(A) = 2R
Diskriminantenkriterien für den mehrdeutigen SSW-FallGeometrischer Bifurkationsparameter
Bestimmt die geometrische Lösbarkeit und die Anzahl möglicher Dreiecke, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener spitzer Winkel gegeben sind (a, b und Winkel A). Der Vergleich der Seite a mit der senkrechten Höhe h = b · sin(A) definiert die Topologie: Ist a < h, existiert kein Dreieck; ist a = h, entsteht genau 1 rechtwinkliges Dreieck; gilt h < a < b, existieren genau 2 gültige Dreiecke (ein spitzwinkliges und ein stumpfwinkliges); ist a ≥ b, gibt es genau 1 eindeutiges Dreieck.
Standard: h = b · sin(A) (Referenzhöhe)
Satz des Heron & Halbumfangs-FlächenmodellFlächeninvariante [Fläche = √(s(s − a)(s − b)(s − c))]
Berechnet den exakten Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks direkt aus den drei Kantenlängen ohne vorherige Höhen- oder Winkelbestimmung, wobei s = (a + b + c) / 2 dem halben Umfang entspricht. Bei numerischen Präzisionsberechnungen verhindert die Sortierung der Seiten nach a ≥ b ≥ c drastische Auslöschungsfehler (katastrophale Stellenauslöschung) bei extrem schmalen oder nadelförmigen Zuschnitten wie Grundstückszipfeln und Dachgiebeln.
Standard: Fläche = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
Fundamentale Radien (Inkreis- und Umkreisradius)Konzentrische Radien [r = Fläche / s, R = abc / (4 · Fläche)]
Quantifiziert die inneren und äußeren kreisförmigen Begrenzungen eines Dreiecks. Der Inkreisradius (r = Fläche / s) definiert den größten Kreis, der sich tangential an alle drei Dreiecksseiten schmiegt – unverzichtbar für Querschnittsprofile, Passungen und mechanische Freiräume. Der Umkreisradius (R = abc / (4 · Fläche)) beschreibt den Kreis durch alle drei Eckpunkte und erfüllt den eulerschen Satz zum Abstand der Mittelpunkte d² = R(R − 2r).
Standard: r = Fläche / s, R = abc / (4 · Fläche)
