Teorema de la Suma de Ángulos Interiores EuclidianosConstante Geométrica Invariante [A + B + C = 180° / π rad]
En la geometría euclidiana plana, la suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo no degenerado equivale estrictamente a 180 grados (π radianes o 200 gradianes). Si se conocen dos ángulos, el tercero queda unívocamente determinado como 180° - (A + B). En carpintería estructural, diseño de cubiertas y topografía, este invariante constituye la comprobación primaria frente a desviaciones de nivelación o errores de replanteo.
Por defecto: 180° (π radianes)
Ley del Coseno (Teorema de Pitágoras Generalizado)Invariante Trigonométrico [c² = a² + b² - 2ab cos(C)]
Extiende el teorema de Pitágoras a cualquier tipo de triángulo relacionando la longitud de un lado con el coseno de su ángulo opuesto: c² = a² + b² - 2ab × cos(C). Permite resolver configuraciones Lado-Ángulo-Lado (LAL) para hallar lados desconocidos, y configuraciones Lado-Lado-Lado (LLL) mediante cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab). Dado que la función arcocoseno tiene un recorrido biunívoco entre 0° y 180°, discrimina ángulos obtusos y agudos sin ambigüedad de cuadrante.
Por defecto: c² = a² + b² - 2ab cos(C)
Ley del Seno (Invariante de Proporcionalidad Sinusoidal)Invariante de Razón Proporcional [a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R]
Establece que la relación entre cada lado y el seno de su ángulo interior opuesto es constante en los tres vértices, siendo igual al diámetro de la circunferencia circunscrita (2R). Esta regla de proporcionalidad es el motor analítico fundamental para resolver configuraciones Ángulo-Lado-Ángulo (ALA) y Lado-Ángulo-Ángulo (LAA) en navegación, parcelación de terrenos y astronomía.
Por defecto: a / sen(A) = 2R
Criterio Discriminante del Caso Ambiguo LLAParámetro de Bifurcación Geométrica
Evalúa la viabilidad geométrica y el número de triángulos posibles a partir de dos lados y un ángulo agudo no comprendido (a, b y ángulo A). La comparación del lado a con la altura perpendicular h = b × sen(A) determina la topología: si a < h, no existe ningún triángulo (0); si a = h, se genera exactamente 1 triángulo rectángulo; si h < a < b, existen 2 triángulos válidos (uno acutángulo y otro obtusángulo); y si a ≥ b, se forma exactamente 1 triángulo.
Por defecto: Referencia de altura h = b × sen(A)
Fórmula de Herón y Modelo de SemiperímetroInvariante de Área [Área = √(s(s - a)(s - b)(s - c))]
Calcula el área exacta delimitada por cualquier triángulo a partir de sus tres lados sin requerir mediciones de alturas ni ángulos, donde s = (a + b + c) / 2 es el semiperímetro. En cálculo numérico de alta precisión, ordenar las longitudes de modo que a ≥ b ≥ c evita la cancelación por redondeo al medir cuñas de terreno o vertientes de tejados extremadamente alargadas o agudas.
Por defecto: Área = √(s(s - a)(s - b)(s - c))
Radios Fundamentales: Inradio y CircunradioRadios Geométricos Concéntricos [r = Área / s, R = abc / (4 × Área)]
Cuantifica las fronteras circulares interior y exterior del triángulo. El inradio (r = Área / s) representa la circunferencia máxima inscrita tangente a los tres lados, esencial en empaquetamiento estructural y tolerancias mecánicas. El circunradio (R = abc / (4 × Área)) define la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices, cumpliendo la relación de distancia de Euler d² = R(R - 2r).
Por defecto: r = Área / s, R = abc / (4 × Área)
