Théorème de la somme des angles du triangleConstante invariante géométrique [A + B + C = 180° / π rad]
En géométrie euclidienne plane, la somme des trois angles intérieurs de tout triangle non dégénéré est rigoureusement égale à 180 degrés (soit π radians ou 200 grades). Si deux angles sont connus, le troisième est déterminé de manière unique par 180° - (A + B). Dans les travaux de charpente, l'ossature de toiture et l'arpentage foncier, cet invariant constitue le contrôle de cohérence fondamental contre les erreurs d'alignement ou de nivellement.
Par défaut : 180° (π radians)
Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus)Invariant trigonométrique [c² = a² + b² - 2ab cos(C)]
Généralise le théorème de Pythagore à tous les triangles en reliant la longueur d'un côté au cosinus de son angle opposé : c² = a² + b² - 2ab × cos(C). Il permet de résoudre les configurations Côté-Angle-Côté (CAC / SAS) pour déterminer un côté manquant, ainsi que les cas Côté-Côté-Côté (CCC / SSS) via cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab). La fonction arc cosinus associant une valeur unique entre 0° et 180°, elle discrimine sans ambiguïté les angles aigus et obtus.
Par défaut : c² = a² + b² - 2ab cos(C)
Loi des sinus (rapports trigonométriques)Invariant de proportionnalité [a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R]
Établit que le rapport entre la longueur d'un côté et le sinus de son angle opposé est constant pour les trois sommets du triangle, et équivaut au diamètre du cercle circonscrit (2R). Cette relation de proportionnalité est le moteur de calcul privilégié pour résoudre les configurations Angle-Côté-Angle (ACA / ASA) et Angle-Angle-Côté (AAC / AAS) en topographie, navigation maritime et astronomie.
Par défaut : a / sin(A) = 2R
Critères de discrimination du cas ambigu SSAParamètre de bifurcation géométrique
Évalue la faisabilité géométrique et le nombre de solutions possibles lorsque deux côtés et un angle aigu non compris sont spécifiés (a, b et l'angle A). La comparaison du côté a avec la hauteur perpendiculaire h = b × sin(A) détermine la topologie : si a < h, aucun triangle n'existe ; si a = h, il existe exactement 1 triangle rectangle ; si h < a < b, il existe 2 triangles valides (l'un aigu, l'autre obtus) ; et si a ≥ b, il existe 1 triangle unique.
Par défaut : Hauteur de référence h = b × sin(A)
Formule de Héron & demi-périmètreInvariant d'aire [Aire = √(s(s - a)(s - b)(s - c))]
Calcule l'aire exacte d'un triangle directement à partir de la longueur de ses trois côtés, sans nécessiter la hauteur ni la mesure des angles, où s = (a + b + c) / 2 représente le demi-périmètre. Pour garantir une précision numérique optimale, trier les longueurs par ordre décroissant (a ≥ b ≥ c) élimine les erreurs d'annulation catastrophique lors de la mesure de parcelles très étirées ou de cales de charpente effilées.
Par défaut : Aire = √(s(s - a)(s - b)(s - c))
Rayons des cercles inscrit et circonscritRayons géométriques fondamentaux [r = Aire / s, R = abc / (4 × Aire)]
Caractérise les frontières circulaires intérieure et extérieure du triangle. Le rayon du cercle inscrit (r = Aire / s) correspond au plus grand cercle tangent aux trois côtés, essentiel pour l'usinage mécanique et l'optimisation d'encombrement. Le rayon du cercle circonscrit (R = abc / (4 × Aire)) définit le cercle passant par les trois sommets, vérifiant la relation d'Euler d² = R(R - 2r).
Par défaut : r = Aire / s, R = abc / (4 × Aire)
