楕円・放物線・双曲線などの二次曲線（円錐曲線）の一般形および標準形方程式を瞬時に解析。焦点、準線、頂点、離心率の算出から計算手順の導出、高精度グラフ描画まで対応した計算ツールです。
二次曲線の計算・グラフ描画ツール。楕円・放物線・双曲線の一般形および標準形から、焦点・準線・頂点・漸近線・離心率を瞬時に算出し、詳細な導出手順を図解します。
二次曲線の幾何学的形状と曲率トポロジーを決定する第一指標。Δ < 0 の場合は楕円（有界な閉曲線）、Δ = 0 の場合は放物線（無限遠で曲率ゼロとなる開曲線）、Δ > 0 の場合は双曲線（2つの漸近線を持つ開いた双対分枝）となります。
曲線上の任意の点から焦点までの距離と、準線までの垂直距離の比率。e = 0 は正円、0 < e < 1 は楕円、e = 1 は放物線、e > 1 は双曲線を定義します。
楕円においては「a」が最大半径（長半径）、「b」が最小半径（短半径）を表します。双曲線においては「a」が中心から主軸（実軸）上の頂点までの距離を表し、「b」は漸近線の傾き（±b/a）を決定します。
交差項 B ≠ 0 の場合に、二次曲線の主軸を標準の座標軸と一致させるために必要な回転角度。解析的には cot(2θ) = (A - C) / B または θ = 0.5 × atan2(B, A - C) により算出されます。
焦点を通り準線に平行（主軸に直交）する弦（通径）の半分の長さ。楕円および双曲線では b²/a、放物線では 2p と等しくなります。天体力学においては軌道角運動量のスケールを決定します。
3×3拡大係数行列の行列式。det(M) = 0 の場合、二次曲線は退化します。楕円は孤立点に収縮し、放物線は2本の平行線または一致する1直線に、双曲線は交差する2直線へと退化します。
判別式 Δ = B² - 4AC = 0 であっても、真正な放物線であるとは限りません。必ず全体の3×3拡大行列式 det(M) を検証してください。det(M) = 0 の場合、開いた放物線ではなく、平行な2直線（例: x² - 4 = 0）、重根となる1直線（x² = 0）、あるいは実質的な幾何学的軌跡が存在しない空集合（x² + 1 = 0）へと退化します。
負の二次係数を含む一般形（例: 9x² - 16y² - 64y = 0）を標準形に変形する際、-16 で括り出すと平方完成前の一次項の符号が反転します。すなわち -16(y² + 4y) は -16(y + 2)² + 64 と展開されます。この負の符号を右辺の定数項へ正しく分配し忘れる現象は、最も頻発する計算ミスの一つです。
θ = 0.5 × atan2(B, A - C) により回転角を算出する際、回転後の係数 A' が C' より小さくなると、長軸と短軸が逆転する場合があります。代入後に A' < C' となっていないかを必ず確認し、もし小さい場合は θ を ±90° シフトさせて、「a」が常に長軸（双曲線の実軸）に対応する数学的慣例を維持してください。
人工衛星の軌道計算や天体力学において、中心天体（太陽や地球）は幾何学的中心 (h, k) ではなく、常に2つの焦点のいずれか一方（F₁）に位置します。近点距離は厳密に r_p = a(1 - e)、遠点距離は r_a = a(1 + e) であり、焦点距離 c = ae は幾何中心から中心天体までの偏心オフセット量を直接表します。
楕円の平方完成時（例: (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = -1）に、二次の項の係数がともに正であるにもかかわらず、右辺の定数値が負になる場合があります。2つの実数の平方和が負になることはないため、実平面上に幾何学的軌跡が存在しません。一般形の定数項 F の入力値を確認してください。
離心率が極めて 1 に近い場合（例: e = 0.9999 や e = 1.0001）、標準的な楕円の公式 b = a√(1 - e²) では深刻な桁落ち誤差が生じます。当計算機ではこのような領域において、焦点パラメータ形式 p = a(1 - e) へと自動で切り替え、高精度かつ安定した計算を維持します。
焦点がx軸に平行な横型双曲線 (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 では、漸近線の方程式は y - k = ±(b/a)(x - h) となります。一方、焦点がy軸に平行な縦型双曲線 (y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1 では y - k = ±(a/b)(x - h) となります。漸近線の傾きを評価する前に、どちらの変数の自乗項が正符号であるかを必ず確認してください。
正円（離心率 e = 0）の場合、準線までの距離 d = a / e はゼロ除算（d → ∞）となります。当計算ツールでは完全な円に対して準線のオーバーレイ描画を自動的に非表示とし、数学的に準線が無限遠に存在することを示す注記メッセージを表示します。
一般方程式 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 から、判別式 Δ = B² - 4AC を計算します。Δ < 0 の場合は楕円（A = C かつ B = 0 のときは正円）、Δ = 0 の場合は放物線、Δ > 0 の場合は双曲線となります。あわせて3×3の拡大行列式 det(M) も算出する必要があり、det(M) = 0 の場合は退化二次曲線（単一点、平行な直線、または交差する2直線）となります。
まず方程式を平方完成し、中心を (h, k) とする標準形 (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1 に変換します。a > b（横長楕円）の場合、頂点は (h ± a, k)、短軸の頂点は (h, k ± b) となります。焦点距離は c = √(a² - b²) で求まり、2つの焦点は (h ± c, k) に位置します。b > a（縦長楕円）の場合は、頂点が (h, k ± b)、焦点が (h, k ± c)（ただし c = √(b² - a²)）となります。
根本的な違いは、離心率（e）および切断平面と円錐の母線がなす角度にあります。楕円（0 ≤ e < 1）は、切断平面が片側の円錐面を完全に横断するときに生じる有界な閉曲線です。放物線（e = 1）は、切断平面が円錐の母線と平行なときに生じる開いた曲線です。双曲線（e > 1）は、切断平面が上下に対称な双方の円錐面を切断するときに生じる、2つの非有界な分枝からなる曲線です。
退化二次曲線とは、切断平面が円錐の内部ではなく頂点を直接通過するときに生じる幾何学的図形です。数学的には、3×3拡大係数行列の行列式 det(M) がゼロになることに対応します。楕円は単一の孤立点（例: x² + y² = 0）に退化し、双曲線は交差する2直線（例: x² - y² = 0）に退化し、放物線は平行な2直線または一致する1直線に退化します。
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2×2〜10×10の分割表や適合度検定データから、カイ二乗値（χ²）、p値、期待度数、クラメールの連関係数（V）を瞬時に算出します。
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