三平方の定理・斜辺計算機

三平方の定理・斜辺計算機

三平方の定理(ピタゴラスの定理)に基づき、直角三角形の斜辺・底辺・高さを瞬時に計算。平方根(ルート)の簡単化、計算過程の証明ステップ、面積、角度、三角比まで完全網羅。

実践プリセット
計算モード選択

分数または小数を入力(例: 3/4 または 0.75)

整数倍クイック変換
求めた辺の長さ
根号による正確な値(根号表記 √)
5 ft
根号内の数値(被開平数): R = 25.00
小数表示(近似値)
5.0000 ft
5' 0"
公式への代入展開: a² + b² = c²
公式への代入展開: a² + b² = c²: ステップ1: 三平方の基本公式を設定: a² + b² = c² ステップ2: 既知の数値を公式に代入し、それぞれ2乗を計算: (3.00)² + (4.00)² = c² ステップ3: 求める未知の辺について方程式を整理: 9.00 + 16.00 = 25.00 ステップ4: 平方根を算出し、根号を簡単化して確定: c = √(25.00) 根号による正確な値(根号表記 √): 5 小数表示(近似値): c = 5.0000 ft
三角形の面積(S)6.0000面積単位 (cm², m², in²) ft
周囲の長さ(L)12.0000ft
斜辺に対する垂線の長さ(高さ h)2.4000ft
内接円の半径(r)1.0000ft
外接円の半径(R)2.5000ft
半周長(s = (a+b+c)/2)6.0000ft
インタラクティブ直角三角形ビジュアライザー
a²=9.0b²=16.0c²=25.0a=3.0b=4.0c=5.0

頂点をドラッグして三角形の形状や寸法を直感的に変更できます

※ すべての計算はユークリッド幾何学の公理に基づき、ブラウザ内で完全ローカル実行されます。

ユークリッド幾何による検証
成立する直角三角形
3.00² + 4.00² = 5.00²
ピタゴラス数判定
原始ピタゴラス数 (PPT)
Divisor (gcd): 1
辺の比率と三角形の高さ
r = 1.00 ft
h = 2.40 ft • A/P = 0.500
技術リファレンス・アーキテクチャガイド

三平方の定理・斜辺計算ツール — 技術リファレンス

三平方の定理(ピタゴラスの定理)に基づき、斜辺や直角を挟む2辺を瞬時に算出。根号(ルート)の簡約表記、途中計算の手順、面積、内角まで高精度に計算します。

三平方の定理・斜辺計算ツール — 技術リファレンス — クライアントサイド完全ローカル実行アーキテクチャ図
三平方の定理・斜辺計算ツール — 技術リファレンス — クライアントサイド完全ローカル実行アーキテクチャ図

主要パラメータと設定項目

底辺 a(水平スパン / 横幅)長さ・距離(mm, cm, m)

直角(90度)を挟む2辺のうち、水平方向に伸びる底辺。DIYリフォーム、ウッドデッキの根太施工、棚板の割付などにおいて、床面や地面に沿った水平方向の寸法(スパン)を表します。

初期値: 3 m
高さ b(垂直の立ち上がり)長さ・距離(mm, cm, m)

底辺 a に対し垂直(直角)に交わるもう一方の辺。階段の蹴上げ、壁掛けテレビの位置決め、屋根の小屋組みなどにおいて、水平基準面からの垂直な立ち上がり高さを表します。

初期値: 4 m
斜辺 c(対角直線スパン)長さ・距離(mm, cm, m)

90度の直角の向かい側(対辺)に位置する最も長い直線距離。幾何学の基本原則として、斜辺は他のどの辺よりも常に長く(c > a かつ c > b)、2辺の和よりは必ず短くなります(c < a + b)。

初期値: 5 m
根号の簡約表記(k√m 形式)無理数の根号表記(k√m)

小数で丸めずに表現した厳密な平方根の値(例:8.485… ではなく 6√2)。平方数を根号の外にくくり出すことで、数学の学習やミリ単位の精密木工加工において誤差のない厳密な数値を保持できます。

初期値: 5(整数解)
鋭角の内角(α および β)角度(度数法・ラジアン)

直角以外の2つの鋭角で、合計は常に正確に90度(α + β = 90°)となります。丸ノコやマイターソーの留め切り角度設定、屋根の勾配計算、バリアフリースロープの安全基準傾斜の検証などに不可欠です。

初期値: α = 36.87°, β = 53.13°
3次元空間対角線(立体クリアランス)3次元距離(縦・横・高さ)

部屋の隅、配送用段ボール、軽トラックの荷台などを貫く対角線距離で、公式 d = √(x² + y² + z²) により算出。長尺の家具、建築木材、大型ディスプレイなどが室内に収まるかを判定する基準となります。

初期値: 120.0 cm

現場のベストプラクティス・実践Tips

大矩(3:4:5の比率)を倍数に拡大して基礎の直角精度を高める

ウッドデッキの土台や建物の基礎工事で直角(矩:かね)を出す際、3m×4mの小さな三角形で測定すると、わずか1〜2mmのメジャーのたるみやズレが15m〜20m先で数センチの大きな狂いに増幅します。物置なら3-4-5m、車庫なら6-8-10m、住宅基礎なら9-12-15mや12-16-20mのように、施工スパンに合わせて測定スケールを大きく拡大することで、高い施工精度を確保できます。

垂木の木材切り出し時は棟木の厚み減算と軒の出を加算する

屋根の水平梁間(踏み面)と垂直の棟高から計算される斜辺は、軒桁(柱頭)の芯から棟木の中心までの理論上の芯々寸法です。現場で垂木(たるき)を切断・加工する際は、棟木の厚みの半分(一般木造軸組工法で棟木幅の1/2)を差し引き、さらに壁芯から飛び出す「軒の出張り寸法」を別途加算して最終的な木材長を決定してください。

斜辺と既知の辺が極めて近い数値のときは平方の差(因数分解)を活用する

斜辺と既知の辺の長さが極めて近い場合(例:高さ30mのアンテナ支線ワイヤーが支柱から29.9m離れた地点に張られている場合など)、電卓で直接 c² - b² を計算すると桁落ち(丸め誤差)が生じやすくなります。a = √((c - b)(c + b)) のように平方の差として因数分解して計算することで、浮動小数点の丸め誤差を排除し、厳密な幾何学的精度を維持できます。

よくある落とし穴とトラブルシューティング

⚠️直角を挟む辺を求める際に「負の数の平方根エラー」が発生する

直角三角形において、斜辺 c は幾何学的に最も長い辺である必要があります。斜辺として入力した数値がもう一方の辺以下(c ≤ a)になっていると、c² - a² がゼロまたはマイナスになり、実数の範囲で平方根が計算できません。斜辺の値が必ず他の辺よりも長くなっているかを確認した上で再計算してください。

⚠️枠組みやデッキの施工時に2本の対角線の長さが一致しない

向かい合う2辺の長さが等しいにもかかわらず、左右の対角線の測定値が異なる(d1 ≠ d2)場合、その枠組みは長方形ではなく平行四辺形に歪んでいます(矩が狂っている状態)。両方の対角線が同じ長さになり、かつ計算上の斜辺寸法と一致するまで、歪んでいる角を対角方向に押し引きして調整してください。

⚠️小数の計算結果が教科書や数学の解答(ルート表記)と一致しない

一般的な電卓では「8.485…」のような丸められた小数で表示されますが、数学の課題や試験では「6√2」のような根号(ルート)の簡約表記が求められます。平方根の対象となる数値から最大の平方数をくくり出してください(例:√72 の場合、72 = 36 × 2 なので √36 × √2 = 6√2 となります)。本ツールの「根号簡約表示」で解答の形を確認できます。

⚠️直角のない一般の三角形(鋭角・鈍角三角形)に三平方の定理を使うと値が合わない

三平方の定理(a² + b² = c²)は内角の1つが厳密に90度である直角三角形にのみ適用されます。直角を持たない斜三角形の場合は、角度の影響を補正する「余弦定理(c² = a² + b² - 2ab·cos C)」を使用してください。角Cが90度未満(鋭角)なら c² は a² + b² より小さくなり、90度を超える(鈍角)なら大きくなります。

よくある質問 (FAQ)

直角三角形の斜辺の長さはどのように計算しますか?▼

直角三角形の斜辺(c)を求めるには、直角を挟む2辺(a と b)をそれぞれ2乗して足し合わせ、その合計の平方根を計算します。公式は c = √(a² + b²) です。例えば、底辺 a = 6 cm、高さ b = 8 cm の場合、6² + 8² = 36 + 64 = 100 となり、√100 = 10 cm となります。したがって斜辺の長さは 10 cm です。

斜辺と1辺がわかっているとき、もう1つの辺はどうやって求めますか?▼

斜辺(c)ともう1つの既知の辺(b)から未知の辺(a)を求めるには、斜辺の2乗から既知の辺の2乗を引き、その差の平方根を計算します。公式は a = √(c² - b²) です。例えば、斜辺 c = 13 m、底辺 b = 12 m の場合、13² - 12² = 169 - 144 = 25 となり、√25 = 5 m となります。したがって未知の辺は 5 m です。

直角(矩:かね)を出す「3:4:5の法則(大矩)」とは何ですか?▼

3:4:5の法則とは、現場で正確な90度(直角)を作るための大工・建築技術です。角から一方の辺に沿って3単位(例:30cmや3m)を測って印をつけ、もう一方の辺に沿って4単位(40cmや4m)を測って印をつけます。その2つの印を結ぶ対角線の距離が正確に5単位(50cmや5m)であれば、その角は直角であることが保証されます(3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²)。現場のスパンに応じて、6-8-10 や 9-12-15 などの倍数も同様に活用されます。

直角三角形と斜三角形(一般の三角形)の違いは何ですか?▼

直角三角形は内角に正確に1つの90度(直角)を含んでおり、三平方の定理(a² + b² = c²)がそのまま成立します。一方、斜三角形は90度の内角を持たず、すべての角が90度未満の「鋭角三角形」か、1つの角が90度を超える「鈍角三角形」に分類されます。斜三角形の辺の長さを求めるには、角度を考慮できる余弦定理(c² = a² + b² - 2ab·cos C)を用いる必要があります。

平方根を根号簡約の形(k√m)に直すにはどうすればよいですか?▼

平方根を簡約表記(k√m)にするには、根号の中の数値を「最大の平方数(4, 9, 16, 25, 36, 49など)× 残りの数」に素因数分解し、平方数の平方根を根号の外に出します。例えば √72 の場合、72 を 36 × 2 に分解し、36 の平方根である 6 を外に出すことで、近似小数(8.485…)ではなく厳密な「6√2」という表記になります。

壁の高さに応じた安全なはしごの長さと設置位置はどう計算しますか?▼

安全なはしごの設置には、厚生労働省の安全基準や労働安全衛生則で推奨される「立て掛け角度約75度(水平1に対して垂直4の比率)」を用います。例えば高さ4.8mの軒下に立て掛ける場合、壁の根元から水平に1.2m離して設置します。このとき必要な作業斜辺長は c = √(1.2² + 4.8²) = √(1.44 + 23.04) = √24.48 ≈ 4.95m となります。さらに屋根や天板の上へ安全に昇降するため、上部に約60cm〜1mの突き出し長さを加味し、全長6mクラスの2連伸縮はしごを選定するのが安全です。

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