ベクトル外積計算（3D・面積）

ベクトル外積計算（3D・面積）A × B

3Dベクトルの外積 A×B を3×3行列式の展開手順とともに計算。リアルタイム3D可視化、単位法線ベクトル、平行四辺形の面積算出、直交性の検証に対応。

クイックプリセット

ベクトルA

ベクトルAのノルム 0.5000

ベクトルB

ベクトルBのノルム 128.1601
計算精度設定
目標値ソルバー||A × B|| = S

目標値や幾何学的制約から未知のベクトル成分を解析・逆算します。

外積ベクトル a × b
(0, -22.5000, 60.0000)
大きさ（ノルム）: 64.0800
平行四辺形の面積
64.0800
三角形の面積: 32.0400
なす角（θ）
90.0000°
内積 (a · b): 0
幾何学的関係
直交
外積の向きは右手の法則（aからbへ指を曲げた親指の方向）に従います。
ドラッグして回転右手系
ベクトル Aベクトル B外積ベクトル (A × B)
100%
厳密値計算
数値ドリフトなし
空間直交性
直交性検証済み
サーバー送信ゼロ
データ漏洩ゼロ

ブラウザ完結の高速処理

すべての演算をブラウザのメモリ上で行い、高速に処理します。

サーバー送信ゼロの安心設計

入力データは端末内でのみ処理され、外部サーバーへ送信されることは一切ありません。

実務に即応するデータ出力

レポートや開発環境ですぐに活用できる、最適化されたフォーマットで書き出せます。

技術リファレンス・アーキテクチャガイド

ベクトル外積計算（3D・面積） — 技術リファレンス

3次元空間におけるベクトル外積（A × B）を、3×3行列式の展開ステップ、リアルタイム3D可視化、単位法線ベクトル、平行四辺形の面積計算、直交性判定とともに瞬時に算出します。

ベクトル外積計算（3D・面積） — 技術リファレンス — クライアントサイド完全ローカル実行アーキテクチャ図
ベクトル外積計算（3D・面積） — 技術リファレンス — クライアントサイド完全ローカル実行アーキテクチャ図

主要パラメータと設定項目

ベクトルAの成分（ax, ay, az）3次元座標ベクトル

3次元ユークリッド空間の直交正規基底（i, j, k）に沿った空間座標成分です。物理力学では、回転モーメントのアーム変位（m）や並進速度（m/s）などの方向性を持つ物理量を表します。実数全般（-∞〜+∞）の入力に対応します。

初期値: [1, 2, 3]
ベクトルBの成分（bx, by, bz）3次元座標ベクトル

相互作用する外力（N）、磁束密度（T）、または構造メッシュを構成する三角形のエッジを表す第2の方向ベクトル成分です。ベクトルAとの外積により、両者に直交するトルクや囲まれた空間表面積を算出します。

初期値: [4, 5, 6]
なす角（θ）角度（度数法 / 弧度法）

ベクトルAとベクトルBが同一平面上でなす内角であり、0°〜180°（0〜π rad）の範囲で定義されます。外積の大きさ（ノルム）は直交するθ = 90°（sin θ = 1）で最大となり、平行（0°）または反平行（180°）の同一直線上にある場合は0になります。

初期値: 32.18°
単位法線ベクトル（n̂）正規化方向ベクトル

ベクトルAとBが張る平面に対して垂直な、大きさが1.0の正規化された単位ベクトルです。(A × B) / ||A × B|| で定義され、空力設計、ロボットアームの軌道制御、3Dレンダリングにおけるポリゴン表面の向き付けに活用されます。

初期値: [-0.408, 0.816, -0.408]

現場のベストプラクティス・実践Tips

右手の法則による方向確認

右手を使い、人差し指をベクトルAの方向へ伸ばし、中指を180°以内の狭い側の角度に沿ってベクトルBへ曲げます。このとき直角に立てた親指が指す方向が A × B の向きとなります。演算の順序を逆にして B × A を計算すると、交代性（反交換律）により親指は真逆（180°反対）を指します。

平行ベクトルにおける浮動小数点の丸め誤差対策

[1, 2, 3] と [2, 4, 6] のような平行ベクトルの外積を計算する際、コンピュータの浮動小数点演算では精度の限界により完全な0ではなく 1e-16 などの微小な誤差（ゼロドリフト）が発生します。しきい値（イプシロン: 例 1e-12 未満）を設けてゼロクランプ処理を行い、同一直線上のベクトルを正確にゼロベクトル (0, 0, 0) として判定することが重要です。

3Dメッシュの法線向きを揃える反時計回り（CCW）の頂点定義

3D CADモデリングやゲームエンジンでは、三角形ポリゴンのエッジベクトルを常に反時計回り（CCW）に設定します（ベクトルA = 頂点1 - 頂点0、ベクトルB = 頂点2 - 頂点0）。A × B を正規化することでポリゴンの外側を向く表面法線が生成され、裏面カリングによる描画欠落や面の反転バグを確実に防止できます。

平行四辺形および三角形の面積の瞬時算出

外積のユークリッドノルム（大きさ）||A × B|| は、2つのベクトルが張る平行四辺形の面積と完全に一致します。また、原点と両ベクトルの先端を結んでできる三角形の面積を求める場合は、その値を半分にするだけです（三角形の面積 = 0.5 × ||A × B||）。

よくある落とし穴とトラブルシューティング

⚠️外積の結果が (0, 0, 0) になり、単位法線ベクトルが「未定義」と表示される

2つのベクトルが同一直線上にある場合（平行 θ = 0°、または反平行 θ = 180°）、あるいはいずれかがゼロベクトル (0, 0, 0) の場合、外積はゼロベクトルになります。平行な場合は sin θ = 0 となり、囲まれる平行四辺形の面積がゼロに潰れるため、一意な垂直法線ベクトルを定義できず未定義（NaN）となります。

⚠️外積ベクトルの向きが想定と正反対（180°逆）になる

ベクトルの外積には交代性（反交換律: B × A = -(A × B)）があるため、入力順序を入れ替えるとすべての成分の符号が反転します。正しい向きの法線ベクトルを得るには、入力順序を A と B に戻すか、反転ベクトル -(B × A) を使用してください。

よくある質問 (FAQ)

3次元ベクトルの外積はどのように計算しますか？▼

ベクトル A = (ax, ay, az) と B = (bx, by, bz) の外積 A × B は、基本ベクトル（i, j, k）を用いた3×3行列式の展開により計算します：A × B = (ay·bz - az·by)i - (ax·bz - az·bx)j + (ax·by - ay·bx)k。例えば [1, 2, 3] と [4, 5, 6] の外積は、(2·6 - 3·5)i - (1·6 - 3·4)j + (1·5 - 2·4)k = (-3, 6, -3) となり、双方の入力ベクトルに直交する3次元ベクトルが得られます。

内積と外積の違いは何ですか？▼

内積（A · B = ||A|| ||B|| cos θ）の計算結果は方向の一致度を表す1つの実数（スカラー）ですが、外積（A × B = ||A|| ||B|| sin θ n̂）の結果は回転トルクや面積の大きさを持つ直交ベクトルです。また、2つのベクトルが垂直（90°）のときに内積は0となり、平行（0°または180°）のときに外積が0になります。

なぜベクトルの外積は交換法則が成り立たない（交代性がある）のですか？▼

ベクトルの外積は「右手の法則」に従うため、掛ける順序を逆にすると回転方向が逆転し、B × A = -(A × B) となるからです。線形代数学の観点からも、3×3行列式の2つの行を入れ替えると行列式の値が -1 倍される性質があるため、x, y, z の全空間成分の符号が反転します。

外積がゼロになると何を表していますか？▼

外積がゼロベクトル (0, 0, 0) になる場合、2つのベクトルが同一直線上にある（平行 θ = 0°、または反平行 θ = 180°）か、少なくとも一方のベクトルの長さがゼロであることを意味します。外積の大きさ ||A × B|| = ||A|| ||B|| sin θ は sin θ に比例するため、なす角が0°または180°になると垂直成分がなくなり、張られる平行四辺形の面積がゼロになります。

2次元や4次元の空間でも外積を計算できますか？▼

2つのベクトルから一意に直交する第3のベクトルを生成する純粋な外積は、3次元空間（および八元数に基づく7次元空間）のみに存在します。2次元空間における外積計算は2×2行列式（ax·by - ay·bx）で表されるスカラー値となり、3次元平面のz軸成分とみなされます。また4次元空間では外積は外積代数（ウェッジ積 A ∧ B）に一般化され、1本のベクトルではなく2次元の面要素（バイベクトル）を生成します。

外積を使って平行四辺形の面積を求めるにはどうすればよいですか？▼

ベクトルAとBが張る平行四辺形の面積は、外積ベクトルのユークリッドノルム（大きさ）に等しくなります：面積 = ||A × B|| = √(cx² + cy² + cz²) （ただし C = A × B）。なお、同一の2ベクトルで構成される三角形の面積を求める場合は、その大きさを2で割ります（三角形の面積 = 0.5 × ||A × B||）。

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