Calculadora de Duration & Convexidade

Calculadora de Duration & Convexidade

Calcule a duration de Macaulay, duration modificada, convexidade e DV01 para títulos de renda fixa. Simule choques na curva de juros com reprecificação exata por série de Taylor.

Regime de Capitalização

Parâmetros Principais do Título

$ USD
$1,000
4.25%
10.00 anos
4.35%

Juros Decorridos e Posição da Carteira

ACT_ACT
15%
0.0 (Preço Cotado)0.5 (Juros Decorridos)0.99 (Total de Liquidação)
5,000 títulos

Variáveis Macroeconômicas e Tributárias

Padrão CFA
24%
Isento de imposto24%Alíquota federal máxima
2.5%
EstávelTaxa-alvo do FedElevado
Duration de MacaulayHorizonte de Fluxos
8.166anos

Prazo médio ponderado, expresso em anos, para o recebimento de todos os fluxos de caixa descontados do título.

Duration modificadaSensibilidade Linear
7.992anos

Sensibilidade percentual direta do preço do título perante uma variação de 100 pontos-base (1%) no rendimento até o vencimento.

ConvexidadeCurvatura
76.145anos²

Mede a curvatura da relação entre preço e rendimento, corrigindo a estimativa da duration para grandes oscilações nas taxas de juros.

DV01 por títuloRisco por Título
$0.7954

Variação monetária no preço do título para cada alteração de 1 ponto-base (0,01%) no rendimento até o vencimento (YTM).

Preço limpo$991.98
Juros acruados$3.19
Preço sujo$995.17
DV01 da carteira$3,976.81

Relação Preço vs. Rendimento

Comparativo entre reprecificação exata, aproximação linear pela duration e ajuste por série de Taylor com convexidade.

Reprecificação ExataSérie de Taylor (Duration + Convexidade)Aproximação Linear (Duration)
$1,272$1,143$1,014$885$7571.35%2.85%4.35%5.85%7.35%
0 bps (4.35% YTM)
Preço exato$995.17
Preço linear$995.17
Ajuste de convexidade+$0.00
DV01 da carteira+$0

Sensibilidade a Choques na Curva de Juros

Impacto estimado no preço do título perante choques paralelos na curva de juros (-300 bps a +300 bps), comparando a aproximação linear da Duration com a correção de Convexidade.

Choque (bps)Novo YTMPreço exatoPreço linearPreço de TaylorAjuste de convexidadeErro linear
-300 bps1.35%$1,271.71$1,233.78$1,267.88+$34.10-2.98%
-200 bps2.35%$1,170.50$1,154.24$1,169.40+$15.16-1.39%
-100 bps3.35%$1,078.63$1,074.70$1,078.49+$3.79-0.36%
-50 bps3.85%$1,035.90$1,034.94$1,035.88+$0.95-0.09%
-25 bps4.10%$1,015.29$1,015.05$1,015.29+$0.24-0.02%
+25 bps4.60%$975.52$975.28$975.52+$0.24-0.02%
+50 bps4.85%$956.33$955.40$956.35+$0.95-0.10%
+100 bps5.35%$919.29$915.63$919.42+$3.79-0.40%
+200 bps6.35%$850.26$836.09$851.25+$15.16-1.67%
+300 bps7.35%$787.41$756.56$790.66+$34.10-3.92%

Aviso Legal e Isenção de Responsabilidade Cálculos e projeções fornecidos exclusivamente para fins educacionais e informativos. Não constituem recomendação de investimento ou assessoria financeira. Condições de mercado e rendimentos reais estão sujeitos a oscilações.

Duration de Macaulay+$83.46
+7.99% Aproximado
Duration Modificada$-75.87
-7.99% Aproximado
Convexidade+$3.79
0.381% Ganho de capital

Processamento no Navegador

Cálculo de alta performance executado integralmente na memória do navegador.

Zero Envio para Servidores

Todos os dados permanecem estritamente locais, sem qualquer comunicação externa com servidores.

Exportação Pronta para Produção

Formatos de saída limpos e otimizados, prontos para uso imediato em análises e relatórios.

100% On-Device Privacy

All mathematical calculations run strictly in your local browser sandbox. Zero data leaves your device.

Instant Live Calculation

Real-time mathematical derivation with zero input latency and verified IEEE 754 precision.

Multi-Scenario Suite

Comprehensive financial, retail, margin, and discrepancy tools designed for daily professional workflows.

ToolsAA•100% Client-Side Private Web Utilities
Referência técnica e guia de arquitetura

Calculadora de Duration & Convexidade — Guia de referência

Calcule a duration de Macaulay, duration modificada, convexidade e DV01 para títulos de renda fixa. Simule choques na curva de juros com a precificação exata pela série de Taylor.

Calculadora de Duration & Convexidade — Guia de referência — Arquitetura em memória do lado do cliente e fluxo de dados
Calculadora de Duration & Convexidade — Guia de referência — Arquitetura em memória do lado do cliente e fluxo de dados

Parâmetros-chave e controles

valorNominalMoeda (R$ BRL / US$ / €)

Valor principal nominal resgatado no vencimento, convencionalmente padronizado em R$ 1.000 para debêntures e títulos públicos prefixados (como a NTN-F), US$ 1.000 para títulos corporativos globais ou US$ 100 para Treasuries americanas. Serve como base de resgate ao par para todos os fluxos de cupons periódicos e liquidação do valor de face final.

Padrão: 1000
taxaCupomTaxa Nominal Anual (% a.a.)

Taxa nominal anual contratual de cupom paga pelo emissor do título. Títulos com grau de investimento (investment grade) costumam negociar entre 2,0% e 6,5% ao ano, enquanto emissões de alto rendimento (high yield) superam 7,0%. Para títulos emitidos com desconto original (OID) e papéis de cupom zero (como LTN ou STRIPS), insira 0,0%.

Padrão: 5.0
ytmRendimento até o Vencimento (% a.a. / YTM)

Taxa de desconto de mercado e Taxa Interna de Retorno (TIR) exigida pelos investidores segundo a Estrutura a Termo da Taxa de Juros (ETTJ) vigente. Títulos ao par são negociados com YTM igual à taxa de cupom; títulos com deságio têm YTM > cupom; títulos com ágio têm YTM < cupom. O limite matemático deve ser estritamente superior a -100%.

Padrão: 4.5
anosAteVencimentoPrazo Decorrido (Anos até o Vencimento)

Tempo restante de calendário até o vencimento legal do título e o resgate do principal. Os vértices líquidos de referência alinham-se às curvas de juros soberanos (2, 5, 7, 10, 20 e 30 anos). A duration se expande com o prazo de vencimento, enquanto a convexidade cresce de forma não linear, aproximadamente com o quadrado do prazo.

Padrão: 10.0
frequenciaCupomFrequência de Capitalização (Períodos / Ano)

Cronograma anual de distribuição de cupons: 1 para títulos anuais padrão europeu (bullet), 2 para NTN-F no Brasil, Treasuries americanas e debêntures corporativas (semestrais), 4 para tranches pós-fixadas trimestrais e 12 para títulos com amortização mensal (como CRIs/CRAs ou MBS). Frequências maiores antecipam a realização dos fluxos de caixa, reduzindo a duration.

Padrão: 2
choqueJurosBpsChoque na Taxa de Juros (Pontos-base Δy)

Cenário de deslocamento paralelo instantâneo da curva de juros (100 bps = 1,00% = 0,0100 na forma decimal). Testes de estresse regulatórios padrão (como Basileia III, CCAR do Federal Reserve e diretrizes do Banco Central para a carteira bancária) modelam choques instantâneos de juros entre ±50 bps e ±300 bps.

Padrão: 100

Dicas profissionais e melhores práticas

Cuidado com a Armadilha da Convexidade Negativa em Títulos Callable e MBS

Enquanto títulos soberanos tradicionais e debêntures corporativas bullet exibem convexidade positiva (os preços sobem mais rápido quando os juros caem do que caem quando os juros sobem), títulos com cláusula de resgate antecipado (callable bonds) e títulos lastreados em hipotecas (MBS/CRI) passam a exibir convexidade negativa quando as taxas de mercado caem abaixo da taxa de cupom. O aumento dos pré-pagamentos por refinanciamento limita a valorização potencial do preço, mantendo desprotegido o risco de perdas ante choques de alta nos juros. Nunca utilize duration modificada linear ou fórmulas padrão de convexidade para ativos resgatáveis — calcule sempre a duration efetiva por meio de modelagem de árvores binomiais com spread ajustado por opções (OAS).

Títulos Longos com Deságio Profundo Rompem a Regra Linear do Vencimento

Embora a duration geralmente aumente com o prazo de vencimento, títulos negociados com deságio profundo (muito abaixo do par, com cupons baixos e YTM elevado) apresentam uma reversão matemática: a duration atinge o pico em horizontes intermediários (geralmente entre 40 e 60 anos) e depois diminui à medida que o vencimento tende ao infinito (perpetuidades consol). Para uma perpetuidade, a duration de Macaulay é igual a (1 + y)/y, independentemente do prazo infinito. Ao negociar dívida soberana de prazo ultralongo (como tranches de 50 ou 100 anos), verifique se o seu ativo ultrapassou esse ponto crítico de inflexão da duration.

Descompasso na Base de Capitalização: BEY Semestral vs Capitalização Contínua

Uma falha frequente em hedges institucionais ocorre quando operadores calculam a duration modificada usando a convenção semestral de rendimento equivalente de títulos (BEY) (ModD = MacD / (1 + y/2)), mas modelam hedges de swaps ou futuros com base em curvas de mercado monetário com capitalização contínua (onde ModD = MacD). Sob uma taxa de 6,0%, esse descasamento de convenções introduz uma distorção de 300 pontos-base (3%) na neutralização do DV01 entre mercados, gerando risco de base indesejado em estratégias de investimento direcionadas pelo passivo (LDI).

Falha na Aproximação por Série de Taylor sob Mudanças de Regime Macroeconômico

A aproximação de segunda ordem pela série de Taylor (%ΔP ≈ -ModD·Δy + 0,5·Convexidade·(Δy)²) opera com precisão superior a 98% para deslocamentos paralelos moderados inferiores a ±100 bps. Contudo, durante mudanças sistêmicas de regime (como ciclos de aperto monetário de 300 a 500 bps ou crises de liquidez com fuga para a qualidade), termos de terceira ordem (assimetria negativa e dispersão) causam divergências expressivas. Em testes de estresse de carteira sob choques extremos de juros, sempre reprecifique o fluxo de caixa descontado integral do título a partir do zero, em vez de depender de atalhos de duration e convexidade.

Armadilhas comuns e solução de problemas

⚠️A Reprecificação Estimada do Título Supera a Avaliação Real de Mercado em Quedas Acentuadas de Juros

Essa divergência ocorre ao aplicar a duration modificada linear de primeira ordem sem o ajuste de convexidade, ou ao avaliar um título com ágio próximo à sua data de resgate antecipado (call). A duration de primeira ordem é uma reta tangente linear; para quedas expressivas nas taxas (-200 bps), a duration linear subestima sistematicamente a valorização positiva do preço em títulos sem opção de resgate (non-callable). Adicione o termo de segunda ordem: +0,5 × Convexidade × (Δy)². Caso o título seja resgatável (callable), a causa é a compressão estrutural do preço em direção ao valor de exercício da opção de resgate; substitua a duration modificada pela duration efetiva obtida por uma árvore binomial de taxas de juros.

⚠️O Valor da Duration de Macaulay Excede o Prazo Total até o Vencimento do Título

A duration de Macaulay jamais pode ultrapassar matematicamente o prazo de vencimento em títulos de taxa fixa não alavancados, pois o fluxo de caixa final do principal ancora o horizonte máximo. Se o seu cálculo resultar em MacD > Vencimento, verifique dois erros comuns de inserção de dados: (1) taxa de cupom inserida na forma decimal (ex.: 0,05) em vez de percentual ou vice-versa em relação à taxa de desconto, ou (2) variável de frequência anual de cupons definida como zero, provocando um erro de divisão por zero no algoritmo de ponderação temporal dos fluxos de caixa. Em títulos de cupom zero, a MacD deve ser rigorosamente igual ao Vencimento; em títulos com cupom, a MacD deve ser estritamente menor que o Vencimento.

⚠️O Índice de Hedge por DV01 Não Consegue Imunizar a Carteira Contra Distorções na Curva de Juros

A imunização via DV01 pressupõe estritamente um deslocamento paralelo uniforme em todos os vencimentos da curva spot cupom zero. Na prática, as curvas de juros frequentemente sofrem distorções não paralelas: empinamento (steepening: taxas curtas caem em relação às longas), achatamento (flattening) ou choques de curvatura borboleta (butterfly). Para imunizar contra a dinâmica de curvas não paralelas, decomponha o risco de taxa de juros da carteira em Durations por Vértice Chave (Key Rate Durations - KRDs) nos vértices mais líquidos (2A, 5A, 10A, 30A) e case as durations financeiras (dollar durations) em cada faixa discreta de vencimento, em vez de depender de um único DV01 agregado da carteira.

Perguntas frequentes (FAQ)

Qual é a diferença entre a duration de Macaulay e a duration modificada?▼

A duration de Macaulay mede o prazo médio ponderado (em anos) até que o investidor receba os fluxos de caixa do título, em que os pesos correspondem ao valor presente de cada fluxo. A duration modificada divide a duration de Macaulay por (1 + y/m), onde y é a taxa de rendimento até o vencimento (YTM) e m é a frequência de capitalização anual. A duration modificada expressa a sensibilidade percentual direta do preço do título em relação a uma variação de 100 pontos-base (1%) na taxa de juros.

Como a convexidade de um título é calculada e por que ela é importante?▼

A convexidade é a segunda derivada do preço do título em relação à taxa de juros, dividida pelo preço do título. Ela quantifica a curvatura da relação não linear entre preço e rendimento (price-yield). Enquanto a duration modificada assume uma relação linear simples, os preços reais dos títulos sobem mais quando os juros caem do que recuam quando os juros sobem (em títulos sem opção de resgate antecipado). A inclusão da convexidade fornece o ajuste de segunda ordem da série de Taylor, tornando as estimativas de variação de preço substancialmente mais precisas para choques de juros expressivos.

O que é DV01 e como a dollar duration é calculada?▼

O DV01 (Dollar Value of an 01 ou Valor Financeiro de 1 Ponto-base) representa a variação monetária no preço do título decorrente de um deslocamento paralelo de 1 ponto-base (0,01% ou 0,0001) na taxa de juros. É calculado como DV01 = Preço do Título × Duration Modificada × 0,0001. A duration financeira (dollar duration) é a variação de preço para um deslocamento completo de 1% (100 bps), correspondendo a DV01 × 100. Gestores de carteira utilizam o DV01 para calcular o índice exato de hedge necessário por meio de contratos futuros de taxas de juros (como DI futuro na B3 ou SOFR/Treasury futures) ou swaps de taxa de juros.

Por que um título de cupom zero possui duration igual ao seu prazo de vencimento?▼

Um título de cupom zero (como uma LTN / Tesouro Prefixado sem cupons ou STRIPS) entrega 100% do seu fluxo de caixa exatamente na data final de vencimento, sem pagamentos intermediários de cupons. Como inexistem fluxos intermediários para antecipar o prazo médio ponderado de recebimento, a sua duration de Macaulay é rigorosamente idêntica ao seu prazo até o vencimento (por exemplo, um título de cupom zero de 20 anos possui duration de Macaulay de exatamente 20,0 anos).

Como a taxa de cupom e o rendimento até o vencimento afetam a duration do título?▼

Taxas de cupom mais elevadas reduzem a duration porque fluxos intermediários maiores devolvem capital mais cedo, deslocando o centro de gravidade dos fluxos de caixa para períodos mais próximos. Rendimentos até o vencimento (YTM) mais elevados também diminuem a duration, pois os fluxos de caixa distantes no tempo são trazidos a valor presente com fatores de desconto maiores, reduzindo o seu peso relativo em comparação com os cupons iniciais.

Como a série de Taylor com duration e convexidade estima as variações de preço do título?▼

Aviso Legal: Esta ferramenta destina-se estritamente a fins educacionais e informativos, não constituindo consultoria financeira formal nem compromisso vinculativo de investimento ou crédito. Consulte um profissional financeiro certificado antes de tomar decisões de investimento. A fórmula combinada é %ΔPreço ≈ -[Duration Modificada × Δy] + [0,5 × Convexidade × (Δy)²], onde Δy é a variação decimal na taxa de juros (ex.: +0,01 para +100 bps). Para uma alta de juros de +100 bps em um título com ModD = 7,5 e Convexidade = 70: A duration linear estima uma queda de -7,50%, mas o ajuste positivo de convexidade acrescenta +0,5 × 70 × (0,01)² = +0,35%, resultando em uma estimativa líquida precisa de desvalorização de -7,15%.

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